gym 101512 BAPC 2014 I Interesting Integers

Problem

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Meaning

给出一个 正整数 n，要找尽量小的 a 和 b（a < b），使得 n 是以 a 和 b 作为头两项的斐波那契数列的某一项。

Analysis

当 a = b = 1 时，数列增长得最慢，然而即使这样，第 45 项也已经超过 109 ，意味着 n 项数在 45 以内。
对于斐波那契数列的第 k 项，可以把它写成头两项的线性表达式：fib[k] = c1 * fib[1] + c2 * fib[2]。而当项数 k 固定下来，系数c1 和 c2 也就是固定的常数了（可以从用矩阵快速幂求斐波那契数列第 k 项的做法理解）。
列出斐波那契数列前几条递推式，不难发现系数 c1 和 c2 规律：c1 = fib[k-2]，c2 = fib[k-1]，所以有：fib[k] = fib[k-2] * f[1] + fib[k-1] * fib[2]。
枚举项数 k，求解c1 * x + c2 * y = n，相当于找直线上的整点。其中 x 和 y 分别就是所求的 a 和 b 的候选解。
因为要满足 a > 0、b > 0、a < b，而求出的 x 和 y 不一定满足这三个条件，要先做一些偏移，使整点（x，y）移动到直线y = x上方，然后再更新答案。

Code

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e9, TERM = 45;

int fib[TERM+1];

void table()
{
    fib[0] = 0;
    fib[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= TERM; ++i)
        fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
}

long long extgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
    long long d = a;
    if(b)
    {
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else
    {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    table();
    int T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        int n;
        cin >> n;
        int a = 1, b = n - 1;
        for(int t = TERM; t > 2; --t)
        {
            long long x, y, k,
                // x 的系数、y 的系数
                fa = fib[t-2], fb = fib[t-1],
                // 求解 fa * x + fb * y = gcd(fa, fb)
                g = extgcd(fa, fb, x, y);
            // gcd(fa, fb) 不整除 n
            // 则方程无解
            if(n % g)
                continue;
            // 方程两边同乘 n / gcd(fa, fb)
            // 即得 fa * x + fb * y = n 的解 (x,y)
            x *= n / g;
            y *= n / g;
            // 整点移动时的增量
            // x 的增量是 fb
            // y 的增量是 fa
            fa /= g;
            fb /= g;
            // 把整点移到 y = x 上方
            // 即 x - k * fb <= y + k * fa
            if(x > y)
            {
                k = (x - y + fa + fb - 1) / (fa + fb);
                x -= k * fb;
                y += k * fa;
            }
            // 保证整点在 y = x 上方的前提下
            // 尽量地往下移，以得到最小的 y
            // y - k * fa >= x + k * fb
            k = (y - x) / (fa + fb);
            x += k * fb;
            y -= k * fa;
            // 更新答案
            if(x > 0 && y > 0)
            {
                if(b > y)
                    a = x, b = y;
                else if(b == y && a > x)
                    a = x, b = y;
            }
        }
        cout << a << ' ' << b << '\n';
    }
    return 0;
}

Post Script

fib[1] = a
fib[2] = b
fib[3] = a + b
fib[4] = fib[2] + fib[3] = a + 2b
fib[5] = fib[3] + fib[4] = 2a + 3b
fib[6] = fib[4] + fib[5] = 3a + 5b
fib[7] = fib[5] + fib[6] = 5a + 8b
……
fib[n] = fib[n-2] * a + fib[n-1] * b
⇒ fib[n] = fib[n-2] * fib[1] + fib[n-1] * fib[2]