偏微分方程通常包含两个以上的自变量。若自变量同时间相关（或者无关），称其为发展型（或者稳态）的。下面，我们罗列出一些典型的偏微分方程，如：热传导方程、一阶双曲守恒律方程、二阶波动方程、椭圆型偏微分方程等。
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抛物型偏微分方程通常刻画⼀个物理系统的扩散现象。典型的模型方程是热传导方程。
u
t
=
Δ
u
≡
u
x
x
+
u
y
y
+
u
z
z
,
u_t=\Delta u\equiv u_{xx}+u_{yy}+u_{zz},
ut=Δu≡uxx+uyy+uzz,该式描述了在各向同性介质中热量的理想传播现象。
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双曲型偏微分方程刻画了一个物理系统中的流动现象。
一阶双曲守恒律方程
u
t
+
f
(
u
)
x
=
0
u_t+f(u)_x=0
ut+f(u)x=0描述了一个物理系统中的单向流动现象，例如水流、气流或者交通流等现象。当
f
(
u
)
=
a
u
f(u)=au
f(u)=au时，其中
a
a
a是给定的常数，相应的双曲守恒律方程也称为对流方程。
二阶波动方程
u
t
t
=
Δ
u
,
u_{tt}=\Delta u,
utt=Δu, 描述了在各向同性介质中声波的传播现象，不是单向流动。该方程也称为声波方程。
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椭圆型偏微分方程是⼀个典型的稳态偏微分方程。它可以广泛地用于一个物理系统中的静力分析。
二阶 Poisson 方程
Δ
u
=
f
\Delta u=f
Δu=f常见于静电学、机械工程和理论物理中。当
f
=
0
f = 0
f=0 时，它称为 Laplace 方程，在数学理论研究中也具有非常重要的地位。例如，调和分析中的 Cauchy-Riemann 方程就是 Laplace 方程。
四阶双调和方程
Δ
Δ
u
=
f
\Delta\Delta u = f
ΔΔu=f常见于连续介质力学，描述了先行塑性材料的扭曲变形规律。
