如何np.einsum work?
给定数组A and B，它们的矩阵乘法和转置计算使用(A @ B).T，或等效地，使用：
np.einsum("ij, jk -> ki", A, B)
（注：这个答案是基于一个简短的博客文章 about einsum我不久前写过。）
einsum do?想象一下我们有两个多维数组，A and B。现在假设我们想要...
A with B以特定的方式创造新的产品系列；然后也许有一个很好的机会einsum与 NumPy 函数的组合（如multiply, sum and transpose会允许。
einsum work?这是一个简单（但并非完全微不足道）的示例。取以下两个数组：
A = np.array([0, 1, 2])
B = np.array([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]])
我们将倍增A and B按元素排序，然后沿新数组的行求和。在“正常”NumPy 中我们会这样写：
>>> (A[:, np.newaxis] * B).sum(axis=1)
array([ 0, 22, 76])
所以这里的索引操作A将两个数组的第一个轴对齐，以便可以广播乘法。然后对产品数组的行进行求和以返回答案。
现在如果我们想使用einsum相反，我们可以写：
>>> np.einsum('i,ij->i', A, B)
array([ 0, 22, 76])
The 签名 string 'i,ij->i'是这里的关键，需要一些解释。你可以把它想象成两半。在左侧（->）我们已经标记了两个输入数组。在 - 的右边->，我们已经标记了我们想要最终得到的数组。
接下来会发生以下情况：
A有一个轴；我们已经给它贴上了标签i. And B有两个轴；我们将轴 0 标记为i轴 1 为j.
By 重复标签i在两个输入数组中，我们都告诉einsum这两个轴应该是乘以一起。换句话说，我们将数组相乘A数组的每一列B， 就像A[:, np.newaxis] * B does.
请注意j没有作为标签出现在我们想要的输出中；我们刚刚使用过i（我们希望最终得到一个一维数组）。经过omitting标签，我们告诉einsum to sum沿着这个轴。换句话说，我们对产品的行进行求和，就像.sum(axis=1) does.
这基本上就是您使用时需要知道的全部内容einsum。玩一点是有帮助的；如果我们在输出中保留两个标签，'i,ij->ij'，我们得到一个二维产品数组（与A[:, np.newaxis] * B）。如果我们说没有输出标签，'i,ij->，我们返回一个数字（与执行相同(A[:, np.newaxis] * B).sum()).
伟大的事情是einsum然而，它并没有首先构建临时的产品系列；它只是将结果相加。这可以大大节省内存使用。
为了解释点积，这里有两个新数组：
A = array([[1, 1, 1],
[2, 2, 2],
[5, 5, 5]])
B = array([[0, 1, 0],
[1, 1, 0],
[1, 1, 1]])
我们将使用以下方法计算点积np.einsum('ij,jk->ik', A, B)。这是一张显示标签的图片A and B以及我们从函数中获得的输出数组：
你可以看到这个标签j被重复 - 这意味着我们将行相乘A与列B。此外，标签j不包含在输出中 - 我们正在对这些乘积求和。标签i and k保留用于输出，因此我们返回一个二维数组。
将此结果与标签所在的数组进行比较可能会更清楚j is not总结。下面，在左侧您可以看到由写入产生的 3D 数组np.einsum('ij,jk->ijk', A, B)（即我们保留了标签j):
求和轴j给出预期的点积，如右图所示。
为了更多地感受einsum，使用下标表示法实现熟悉的 NumPy 数组操作非常有用。任何涉及乘法轴和求和轴组合的东西都可以使用以下方式编写einsum.
设 A 和 B 是两个长度相同的一维数组。例如，A = np.arange(10) and B = np.arange(5, 15).
总数是A可以写成：
np.einsum('i->', A)
逐元素乘法，A * B，可以写成：
np.einsum('i,i->i', A, B)
内积或点积，np.inner(A, B) or np.dot(A, B)，可以写成：
np.einsum('i,i->', A, B) # or just use 'i,i'
外层产品，np.outer(A, B)，可以写成：
np.einsum('i,j->ij', A, B)
对于二维数组，C and D，前提是轴的长度兼容（两者长度相同或其中之一的长度为 1），以下是一些示例：
的踪迹C（主对角线之和），np.trace(C)，可以写成：
np.einsum('ii', C)
逐元素乘法C和转置D, C * D.T，可以写成：
np.einsum('ij,ji->ij', C, D)
将每个元素相乘C通过数组D（制作 4D 数组），C[:, :, None, None] * D，可以写成：
np.einsum('ij,kl->ijkl', C, D)