仅使用增量、循环、赋值、零的减法运算

我正在尝试仅使用以下操作来构建减法、加法、除法、乘法和其他运算：

1. incr(x) - 一旦调用此函数，它将把 x + 1 赋给 x
2. allocate(x, y) - 该函数将把 y 的值赋给 x (x = y)
3. Zero(x) - 该函数将 0 分配给 x (x = 0)
4. Loop X { } - 括号内写入的操作将被执行 X 次

使用以下规则可以直接实现加法（add），如下所示：

ADD (x, y) {
 loop X {
   y = incr (y)
 }
return y
}

然而，我正在努力实施减法。我认为所有其他需要的操作都可以使用减法来完成。

任何提示将不胜感激。

史蒂芬·科尔·克莱恩设计了一种使用整数加法执行整数减法的方法。但是，它假设您不能有负整数。例如：

0 - 1 = 0
1 - 1 = 0
2 - 1 = 1
3 - 1 = 2
4 - 1 = 3
5 - 2 = 3
6 - 3 = 3
6 - 4 = 2
6 - 5 = 1
6 - 6 = 0
6 - 7 = 0

在您的问题中，您使用增量运算实现了加法运算。

类似地，您可以使用自减运算来实现减法运算，如下所示：

sub(x, y) {
    loop y
        { x = decr(x) }
    return x
}

现在，我们需要做的就是实现减量操作。

这就是克莱恩的天才之处：

decr(x) {
    y = 0
    z = 0

    loop x {
        y = z
        z = incr(z)
    }

    return y
}

这里我们使用了所有四种操作。它是这样工作的：

1. 我们有两个基本情况，y（基本情况为0) and z（基本情况为1):

   y = 0 - 1 = 0
   z = 1 - 1 = 0
   

   因此，我们将它们都初始化为0.

2. When x is 0我们运行循环0次（即从不），然后我们只需返回y = 0.

3. When x is 1然后我们运行一次循环，分配y = z然后简单地返回y = z = 0.

请注意，每次我们运行循环时y保存当前迭代的结果，同时z保存下一次迭代的结果。这就是我们需要两个基本情况的原因。递减函数不是连续函数。它是一个分段的功能：

decr(0)     = 0
decr(n + 1) = n

当克莱恩去看牙医时，牙医拔掉了他的两颗牙齿，他意识到了这一点。他在试图解决这个问题时感到沮丧，当牙医拔掉他的两颗牙齿时，他意识到他需要两个基本情况。