找到具有左特征值的马尔可夫稳态（使用 numpy 或 scipy）

我需要使用一些 python 代码使用其转换矩阵的左特征向量找到马尔可夫模型的稳态。

它已经成立于这个问题scipy.linalg.eig 无法提供所描述的实际左特征向量，但那里演示了修复。像往常一样，官方文档大多无用且难以理解。

比不正确的格式更大的问题是产生的特征值没有任何特定的顺序（没有排序并且每次都不同）。因此，如果您想找到与 1 个特征值相对应的左特征向量，您必须寻找它们，这带来了它自己的问题（见下文）。数学很清楚，但如何让 python 计算它并返回正确的特征向量尚不清楚。这个问题的其他答案，例如this one，似乎没有使用左特征向量，所以这些不是正确的解决方案。

这个问题提供了部分解决方案，但它没有考虑较大转移矩阵的无序特征值。所以，只需使用

leftEigenvector = scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)[1][:,0]
leftEigenvector = leftEigenvector / sum(leftEigenvector)

很接近，但一般不起作用，因为[:,0]位置可能不是正确特征值的特征向量（在我的情况下通常不是）。

好的，但是输出scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)是一个数组，其中[0]element 是每个特征值的列表（不按任何顺序），其后面的位置[1]由与这些特征值对应的顺序的特征向量数组组成。

我不知道有什么好方法可以通过特征值对整个事物进行排序或搜索，以提取正确的特征向量（特征值为 1 的所有特征向量均通过向量条目的总和标准化。）我的想法是获取特征值的索引等于 1，然后从特征向量数组中提取这些列。我的版本又慢又麻烦。首先，我有一个函数（不太有效）来查找最后一个与某个值匹配的位置：

# Find the positions of the element a in theList
def findPositions(theList, a):
  return [i for i, x in enumerate(theList) if x == a]

然后我像这样使用它来获取与特征值 = 1 匹配的特征向量。

M = transitionMatrix( G )
leftEigenvectors = scipy.linalg.eig(M,left=True,right=False)
unitEigenvaluePositions = findPositions(leftEigenvectors[0], 1.000)
steadyStateVectors = []
for i in unitEigenvaluePositions:
    thisEigenvector = leftEigenvectors[1][:,i]
    thisEigenvector / sum(thisEigenvector)
    steadyStateVectors.append(thisEigenvector)
print steadyStateVectors

但实际上这是行不通的。存在一个特征值 =1.00000000e+00 +0.00000000e+00j即使另外两个找到了，也没有找到。

我的期望是我不是第一个使用 python 来查找马尔可夫模型的平稳分布的人。更熟练/更有经验的人可能有一个可行的通用解决方案（无论是否使用 numpy 或 scipy ）。考虑到马尔可夫模型的流行程度，我预计会有一个库专门供它们执行此任务，也许它确实存在，但我找不到。

您链接到如何找出与矩阵的特定特征值相对应的特征向量？并表示它不计算左特征向量，但您可以通过使用转置来解决这个问题。

例如，

In [901]: import numpy as np

In [902]: import scipy.sparse.linalg as sla

In [903]: M = np.array([[0.5, 0.25, 0.25, 0], [0, 0.1, 0.9, 0], [0.2, 0.7, 0, 0.1], [0.2, 0.3, 0, 0.5]])

In [904]: M
Out[904]: 
array([[ 0.5 ,  0.25,  0.25,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.1 ,  0.9 ,  0.  ],
       [ 0.2 ,  0.7 ,  0.  ,  0.1 ],
       [ 0.2 ,  0.3 ,  0.  ,  0.5 ]])

In [905]: eval, evec = sla.eigs(M.T, k=1, which='LM')

In [906]: eval
Out[906]: array([ 1.+0.j])

In [907]: evec
Out[907]: 
array([[-0.32168797+0.j],
       [-0.65529032+0.j],
       [-0.67018328+0.j],
       [-0.13403666+0.j]])

In [908]: np.dot(evec.T, M).T
Out[908]: 
array([[-0.32168797+0.j],
       [-0.65529032+0.j],
       [-0.67018328+0.j],
       [-0.13403666+0.j]])

标准化特征向量（你知道它应该是实数）：

In [913]: u = (evec/evec.sum()).real

In [914]: u
Out[914]: 
array([[ 0.18060201],
       [ 0.36789298],
       [ 0.37625418],
       [ 0.07525084]])

In [915]: np.dot(u.T, M).T
Out[915]: 
array([[ 0.18060201],
       [ 0.36789298],
       [ 0.37625418],
       [ 0.07525084]])

如果您事先不知道特征值 1 的重数，请参阅 @pv. 的注释，显示使用的代码scipy.linalg.eig。这是一个例子：

In [984]: M
Out[984]: 
array([[ 0.9 ,  0.1 ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.3 ,  0.7 ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.25,  0.75,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.5 ,  0.5 ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  1.  ,  0.  ]])

In [985]: import scipy.linalg as la

In [986]: evals, lvecs = la.eig(M, right=False, left=True)

In [987]: tol = 1e-15

In [988]: mask = abs(evals - 1) < tol

In [989]: evals = evals[mask]

In [990]: evals
Out[990]: array([ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j])

In [991]: lvecs = lvecs[:, mask]

In [992]: lvecs
Out[992]: 
array([[ 0.9486833 ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.31622777,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        , -0.5547002 ,  0.        ],
       [ 0.        , -0.83205029,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.70710678],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.70710678]])

In [993]: u = lvecs/lvecs.sum(axis=0, keepdims=True)

In [994]: u
Out[994]: 
array([[ 0.75, -0.  ,  0.  ],
       [ 0.25, -0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.4 ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.6 ,  0.  ],
       [ 0.  , -0.  ,  0.5 ],
       [ 0.  , -0.  ,  0.5 ]])

In [995]: np.dot(u.T, M).T
Out[995]: 
array([[ 0.75,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.25,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.4 ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.6 ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.5 ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.5 ]])