在空间中，我们会见到各种各样的形状，但无论什么形状，其根本还是由点和线来构成的，这里我们的线是一个直观的理解，就是一条直直的，有的也是弯的那样的，类似于我们衣服上的线头一样的那种东东。
线是由一系列的点组成的；无数的线组成了面；无数的面形成体积；庞大的体积则包括无数体积…… 《沙之书》
但是我们想用数学来描述这样的一个东西，我们在这里便引入了运动学的观点，假设在空间中有着这样一个质点，他随着时间在空间中连续地移动，对于每一个时间点 t t t，质点都有一个对应的位置 f ( t ) f(t) f(t)，当时间从负无穷流动到正无穷，质点的运动过程便对应了空间中一条轨道。我们便把这样一条轨道称之为曲线。
按照经典的定义，从 ( a , b ) (a,b) (a,b)到 R 3 R^3 R3中的连续映射就是一条曲线。
Question:曲线是否有除去运动学之外的其它的定义方式？
当我们定义出了曲线后，我们会发现他只能满足一个连续的性质，但在用微分学分析过程中，我们希望能够对曲线上的每个点进行微分操作，我们便还会要求曲线具有正则性：
Def：正则曲线
曲线
r
:
(
a
,
b
)
→
E
2
(
E
3
)
\textbf{r}:(a,b)\rightarrow E^2(E^3)
r:(a,b)→E2(E3)称为正则曲线，如果：
我们来分析一下上面两个条件对曲线提出的要求。
首先，第一个要求保证了曲线的光滑型，使得我可以对
r
\textbf{r}
r求任意阶导数；除去了下面这类曲线的可能情况：
第二个要求则是为了保证隐函数定理成立。（隐函数隐函数隐函数！！！（一定得写个坑出来！））（这里及其需要补充一段说明隐函数成立的意义，这个开到新的坑里面去hh）
不满足条件二的例子：
f
(
t
)
=
(
t
2
,
t
3
)
\textbf{f}(t)=(t^2,t^3)
f(t)=(t2,t3)
其中在
(
0
,
0
)
(0,0)
(0,0)处该参数曲线关于参数无穷阶可微，但是在该点导数值为
(
0
,
0
)
(0,0)
(0,0),当以
x
x
x参数形式表示时，便是不光滑的。
（导函数不为0是为了满足在任意一种参数下其于该点处都保证无穷阶可微）
Question:欧氏空间上的微分与欧氏向量空间上的微分有哪些区别与联系？
在定义完成性质较好的正则曲线之后，我们下面的研究就将针对正则曲线展开。
在 E 2 E^2 E2中，每个点都能够用两个坐标分量 ( x , y ) (x,y) (x,y)来进行表示,那么平面正则曲线往往会以 r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) , t ∈ ( a , b ) \textbf{r}(t)=(x(t),y(t)),t\in(a,b) r(t)=(x(t),y(t)),t∈(a,b)的形式出现。
在这个时候，我们重新对 t t t进行一种审视。我们在定义曲线时是用动力学的观点来定义的， t t t是质点运动的时间。可我们是否可能定义另外的一种时间呢？比如以太阳的高度度量时间，以日冕的影长来度量时间，或者以十二时辰来度量时间。
其实不同的测量方式是加在参数空间 R R R上的不同度量，但是在不同的度量下，我 E 2 E^2 E2中曲线对应的点的集合是不发生改变的，而且仍然能够保证关于参数的连续性。
我们假设参数为 t t t， 那么有了上述正则曲线满足的性质，我们便能够定义质点运动过程中在某一点处的速度。而这个速度正是我们要提出的曲线 r \textbf{r} r的切向量： ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) ) . (x'(t),y'(t)). (x′(t),y′(t)).
根据正则曲线的定义，我们知道切向量的模长大于0，因而它一定会有一个方向，那么这个方向的含义是什么呢？
按照我们的常识，这个方向指向了下一时刻我们要移动的方向。在这时候，我们可以结合泰勒展开来对切向量进行理解：
r
(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
=
(
x
(
t
0
)
+
x
′
(
t
0
)
(
t
−
t
0
)
+
O
(
(
t
−
t
0
)
2
)
,
y
(
t
0
)
+
y
′
(
t
0
)
(
t
−
t
0
)
+
O
(
(
t
−
t
0
)
2
)
)
=
r
(
t
0
)
+
(
t
−
t
0
)
r
′
(
t
0
)
+
O
(
(
t
−
t
0
)
2
)
r(t)=(x(t),y(t))=(x(t_0)+x'(t_0)(t-t_0)+O((t-t_0)^2),y(t_0)+y'(t_0)(t-t_0)+O((t-t_0)^2))=r(t_0)+(t-t_0)r'(t_0)+\textbf{O}((t-t_0)^2)
r(t)=(x(t),y(t))=(x(t0)+x′(t0)(t−t0)+O((t−t0)2),y(t0)+y′(t0)(t−t0)+O((t−t0)2))=r(t0)+(t−t0)r′(t0)+O((t−t0)2)
ps：后面的
O
O
O是个向量噢~
也就是说，切向量实际上从一阶线性角度表述了曲线的变化方向与变化速度。
在用不同参数其描述我们的切向量时，会发现有一些不同，比如我们有微分变换下的两个参数
t
t
t和
s
s
s，在以
t
t
t为参数下假设曲线为
r
(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
,
r
′
(
t
)
=
(
x
′
(
t
)
,
y
′
(
t
)
)
=
(
d
x
(
t
)
/
d
t
,
d
y
(
t
)
/
d
t
)
;
r(t)=(x(t),y(t)),r'(t)=(x'(t),y'(t))=(dx(t)/dt,dy(t)/dt);
r(t)=(x(t),y(t)),r′(t)=(x′(t),y′(t))=(dx(t)/dt,dy(t)/dt);
当我们进行参数变换时，切向量也会随之发生变化：
r
′
(
s
)
=
r
′
(
t
(
s
)
)
=
(
d
x
/
d
s
,
d
y
/
d
s
)
=
(
d
x
/
d
t
⋅
d
t
/
d
s
,
d
y
/
d
t
⋅
d
t
/
d
s
)
=
(
d
t
/
d
s
)
(
d
x
/
d
t
,
d
y
/
d
t
)
=
(
d
t
/
d
s
)
r
′
(
t
)
r'(s)=r'(t(s))=(dx/ds,dy/ds)=(dx/dt\cdot dt/ds,dy/dt\cdot dt/ds)=(dt/ds)(dx/dt,dy/dt)=(dt/ds)r'(t)
r′(s)=r′(t(s))=(dx/ds,dy/ds)=(dx/dt⋅dt/ds,dy/dt⋅dt/ds)=(dt/ds)(dx/dt,dy/dt)=(dt/ds)r′(t)
综上：
r
′
(
s
)
=
(
d
t
/
d
s
)
r
′
(
t
)
r'(s)=(dt/ds)r'(t)
r′(s)=(dt/ds)r′(t)
会发现几个结论：
对应于切向量方向的单位向量，同时也就是在自然参数 s s s下的切向量，被我们称之为单位切向量。
在平面中，有的曲线是弯曲的，而有的曲线是不太弯的，有的曲线直接是直的：
这些曲线的弯曲程度肯定是不一样的。那么，我们该如何去描述这种曲线的弯曲程度呢？
回到我们的上一个小标题：单位切向量。我们会发现我们的单位切向量的终点始终会落在单位圆上面。如果我们研究的曲线是上图中的第三个，我们发现我们的单位切向量会始终不变。而对于会弯曲的曲线，我们的单位切向量方向会发生改变。
那么我们便会随之产生一个想法：是否能用我们的单位切向量的变化来表述曲线的弯曲程度呢？那能够衡量单位切向量变化的便是我们单位切向量的导数。
a
=
d
(
d
r
/
d
s
)
/
d
t
\textbf{a}=d(d\textbf{r}/ds)/dt
a=d(dr/ds)/dt
我们下面说明这个向量
a
\textbf{a}
a一个奇妙的性质：
单位切向量关于时间参数t的导数
a
\textbf{a}
a始终与单位切向量
t
\textbf{t}
t垂直。
d
/
d
t
(
d
r
/
d
s
,
d
r
/
d
s
)
=
d
/
d
t
(
1
)
=
0
d
/
d
t
(
d
r
/
d
s
,
d
r
/
d
s
)
=
(
d
t
/
d
t
,
t
)
+
(
t
,
d
t
/
d
t
)
=
2
∗
(
d
t
/
d
t
,
t
)
(
d
t
/
d
t
,
t
)
=
(
a
,
t
)
=
0
\begin{aligned} &d/dt(d\textbf{r}/ds,d\textbf{r}/ds)=d/dt(1)=0\\ &d/dt(d\textbf{r}/ds,d\textbf{r}/ds)=(d\textbf{t}/dt,\textbf{t})+(\textbf{t},d\textbf{t}/dt)=2*(d\textbf{t}/dt,\textbf{t})\\ &(d\textbf{t}/dt,\textbf{t})=(\textbf{a},\textbf{t})=0 \end{aligned}
d/dt(dr/ds,dr/ds)=d/dt(1)=0d/dt(dr/ds,dr/ds)=(dt/dt,t)+(t,dt/dt)=2∗(dt/dt,t)(dt/dt,t)=(a,t)=0
因而结论得证。
我们把
a
(
t
)
\textbf{a}(t)
a(t)方向上的向量称为曲线在
r
(
t
)
\textbf{r}(t)
r(t)处的法向量，称与单位切向量
t
\textbf{t}
t构成
{
i
,
j
}
\{\textbf{i},\textbf{j}\}
{i,j}右手坐标系的单位法向量
n
(
s
)
\textbf{n}(s)
n(s)称为曲线
r
(
s
)
\textbf{r}(s)
r(s)在
(
x
(
s
)
,
y
(
s
)
)
(x(s),y(s))
(x(s),y(s))处的单位正法向量，它由
t
(
s
)
\textbf{t}(s)
t(s)唯一确定下来。
Question:当切向量不是对应于自然参数的单位切向量，而是针对于另一参数
t
t
t时，我们再对切向量求导，得到的导向量是否与我们上文中自然参数下的法向量同向？
Answer:并不一定同向，首先我们有切向量表达式:
(
x
′
(
t
)
,
y
′
(
t
)
)
=
(
d
x
/
d
s
⋅
d
s
/
d
t
,
d
y
/
d
s
⋅
d
s
/
d
t
)
=
(
d
s
/
d
t
)
⋅
d
(
x
,
y
)
/
d
s
=
(
d
s
/
d
t
)
⋅
t
(
s
)
\begin{aligned} (x'(t),y'(t))&=(dx/ds \cdot ds/dt,dy/ds \cdot ds/dt)\\ &=(ds/dt)\cdot d(x,y)/ds\\ &=(ds/dt)\cdot \textbf{t}(s)\\ \end{aligned}
(x′(t),y′(t))=(dx/ds⋅ds/dt,dy/ds⋅ds/dt)=(ds/dt)⋅d(x,y)/ds=(ds/dt)⋅t(s)
因而我们对该切向量求导便有：
(
d
/
d
t
)
(
x
′
(
t
)
,
y
′
(
t
)
)
=
(
d
/
d
t
)
(
(
d
s
/
d
t
)
⋅
t
(
s
)
)
=
(
d
2
s
/
d
t
2
)
⋅
t
(
s
)
+
(
d
s
/
d
t
)
⋅
n
(
s
)
=
x
′
x
′
′
+
y
′
y
′
′
(
x
′
)
2
+
(
y
′
)
2
⋅
t
(
s
)
+
(
x
′
)
2
+
(
y
′
)
2
⋅
n
(
s
)
=
<
r
′
(
t
)
,
r
′
′
(
t
)
>
⋅
t
(
s
)
+
<
r
′
(
t
)
,
r
′
(
t
)
>
⋅
n
(
s
)
(
x
′
)
2
+
(
y
′
)
2
\begin{aligned} (d/dt)(x'(t),y'(t))&=(d/dt)((ds/dt)\cdot \textbf{t}(s))\\ &=(d^2s/dt^2)\cdot\textbf{t}(s)+(ds/dt)\cdot\textbf{n}(s)\\ &=\frac{x'x''+y'y''}{\sqrt{(x')^2+(y')^2}}\cdot\textbf{t}(s)+\sqrt{(x')^2+(y')^2}\cdot\textbf{n}(s)\\ &=\frac{<r'(t), r''(t)>\cdot \textbf{t}(s)+<r'(t),r'(t)>\cdot \textbf{n}(s)}{\sqrt{(x')^2+(y')^2}} \end{aligned}
(d/dt)(x′(t),y′(t))=(d/dt)((ds/dt)⋅t(s))=(d2s/dt2)⋅t(s)+(ds/dt)⋅n(s)=(x′)2+(y′)2
x′x′′+y′y′′⋅t(s)+(x′)2+(y′)2
⋅n(s)=(x′)2+(y′)2
<r′(t),r′′(t)>⋅t(s)+<r′(t),r′(t)>⋅n(s)
在高中物理中我们学过，一个质点的加速度不但会有切向加速度而且有时候会有法向加速度。在上面的式子中，第一项即为切向加速度，第二项为法向加速度。
