一、声明
二、直接证明
原理
通过一系列逻辑推理和推断来证明目标命题成立，从已知的前提出发，依次推导出结论
示例
命题
：对任意实数
x
x
x
，
x
2
≥
0
x^2 \geq 0
x
2
≥
0
。
证明
：假设
x
x
x
是任意实数。如果
x
=
0
x=0
x
=
0
，那么
x
2
=
0
x^2=0
x
2
=
0
，符合不等式。如果
x
≠
0
x\neq 0
x
=
0
，那么
x
2
x^2
x
2
由两个相同的因数乘积得到，因此
x
2
>
0
x^2>0
x
2
>
0
。因此，对于任意实数
x
x
x
，
x
2
≥
0
x^2 \geq 0
x
2
≥
0
成立。
三、反证法
原理
假设要证明的命题为假，然后推导出一个矛盾结果，从而证明原命题为真。
示例
命题
：不存在最大的素数。
证明
：假设存在最大的素数
p
p
p
。然后考虑
p
!
+
1
p!+1
p
!
+
1
，它不会被
2
,
3
,
.
.
.
,
p
2,3,...,p
2
,
3
,
...
,
p
中的任何素数整除。因此，
p
!
+
1
p!+1
p
!
+
1
要么是素数（不等于
p
p
p
），或者有一个大于
p
p
p
的素因子，与“
p
p
p
是最大素数”这个假设矛盾。
四、数学归纳法
原理
用于证明所有自然数（通常是正整数）具有某个性质。通过证明基础情况为真，再证明如果对某个特定的自然数命题成立，则它对下一个自然数也成立。
示例
命题
：
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
n
=
n
(
n
+
1
)
2
1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}
1
+
2
+
3
+
...
+
n
=
2
n
(
n
+
1
)
。
证明
：首先证明基础情况：当
n
=
1
n=1
n
=
1
时，左边等于
1
1
1
，右边等于
1
(
1
+
1
)
2
\frac{1(1+1)}{2}
2
1
(
1
+
1
)
也等于
1
1
1
。假设对于某个正整数
k
k
k
，命题成立，即
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
k
=
k
(
k
+
1
)
2
1+2+3+...+k = \frac{k(k+1)}{2}
1
+
2
+
3
+
...
+
k
=
2
k
(
k
+
1
)
。现在考虑
n
=
k
+
1
n=k+1
n
=
k
+
1
的情况，有
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
k
+
(
k
+
1
)
=
k
(
k
+
1
)
2
+
(
k
+
1
)
=
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
2
1+2+3+...+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
1
+
2
+
3
+
...
+
k
+
(
k
+
1
)
=
2
k
(
k
+
1
)
+
(
k
+
1
)
=
2
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
，因此对于任意正整数
n
n
n
，命题都成立。
五、对证法
原理
用于证明某个命题的真假。通过同时证明命题的“如果”和“只当”部分，从而得出结论。
示例
命题
：一个整数是偶数当且仅当它可以被 2 整除。
证明
：要证明这个命题，我们需要证明两个方向：首先证明如果一个整数是偶数，那么它可以被 2 整除；其次证明如果一个整数可以被 2 整除，那么它是偶数。
六、构造法
原理
通过构造一个满足条件的对象来证明命题的存在性，或者构造一个反例来证明命题的不存在性。
示例
命题
：存在无穷多的素数。
证明
：我们可以使用构造法证明。假设存在有限个素数
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
n
p_1, p_2, ..., p_n
p
1
,
p
2
,
...
,
p
n
。我们考虑
N
=
p
1
⋅
p
2
⋅
.
.
.
⋅
p
n
+
1
N = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n + 1
N
=
p
1
⋅
p
2
⋅
...
⋅
p
n
+
1
。因为
N
N
N
大于等于
1
1
1
，所以它要么是一个素数（不在列表中），要么有一个素因子不在列表中。因此，总是能够找到新的不在列表中的素数，这证明了存在无穷多个素数。
七、分情况讨论
原理
将问题根据不同情况进行分析，并分别进行推导，通常用于处理复杂的情况。
示例
命题
：对任意实数
x
x
x
，
∣
x
∣
≥
0
|x| \geq 0
∣
x
∣
≥
0
。
证明
：分情况讨论。如果
x
≥
0
x \geq 0
x
≥
0
，那么显然
∣
x
∣
=
x
≥
0
|x| = x \geq 0
∣
x
∣
=
x
≥
0
。如果
x
<
0
x < 0
x
<
0
，那么
∣
x
∣
=
−
x
|x| = -x
∣
x
∣
=
−
x
，由于
x
<
0
x < 0
x
<
0
，所以
−
x
>
0
-x > 0
−
x
>
0
，因此
∣
x
∣
=
−
x
≥
0
|x| = -x \geq 0
∣
x
∣
=
−
x
≥
0
。综上所述，对任意实数
x
x
x
，
∣
x
∣
≥
0
|x| \geq 0
∣
x
∣
≥
0
。
