证明
设
λ
1
,
.
.
.
,
λ
k
\lambda_1, ..., \lambda_k
λ1,...,λk 为方针
A
n
×
n
A^{n\times n}
An×n的
k
k
k 个不同特征值，对应的特征向量分别为
x
1
,
.
.
.
,
x
k
x_1, ..., x_k
x1,...,xk。
假设
x
1
,
.
.
.
,
x
r
(
r
<
k
)
x_1, ..., x_r(r<k)
x1,...,xr(r<k) 线性无关（如果有必要交换特征向量顺序），而
x
1
,
.
.
.
,
x
r
,
x
r
+
1
x_1, ..., x_r, x_{r+1}
x1,...,xr,xr+1 线性相关，则存在不全为
0
0
0 的
c
1
,
.
.
.
,
c
r
+
1
c_1, ..., c_{r+1}
c1,...,cr+1 使得：
c
1
x
1
+
.
.
.
+
c
r
x
r
+
c
r
+
1
x
r
+
1
=
0
(1)
c_1 x_1 + ... + c_r x_r + c_{r+1}x_{r+1} = 0 \tag{1}
c1x1+...+crxr+cr+1xr+1=0(1)
且
c
r
+
1
c_{r+1}
cr+1 不为
0
0
0，否则
x
1
,
.
.
.
,
x
r
x_1, ..., x_r
x1,...,xr 线性相关。
对(1) 式左右两边同时乘以
A
A
A 得
c
1
A
x
1
+
.
.
.
+
c
r
A
x
r
+
c
r
+
1
A
x
r
+
1
=
0
(2)
c_1 A x_1 + ... + c_r A x_r + c_{r+1} A x_{r+1} = 0 \tag{2}
c1Ax1+...+crAxr+cr+1Axr+1=0(2)
也即
c
1
λ
1
x
1
+
.
.
.
+
c
r
λ
r
x
r
+
c
r
+
1
λ
r
+
1
x
r
+
1
=
0
(3)
c_1 \lambda_1 x_1 + ... + c_r \lambda_r x_r + c_{r+1} \lambda_{r+1} x_{r+1} = 0 \tag{3}
c1λ1x1+...+crλrxr+cr+1λr+1xr+1=0(3)
(1) 式乘以
λ
r
+
1
\lambda_{r+1}
λr+1 与(3) 式子相减得
c
1
(
λ
r
+
1
−
λ
1
)
x
1
+
.
.
.
+
c
r
(
λ
r
+
1
−
λ
r
)
x
r
=
0
(4)
c_1 (\lambda_{r+1} - \lambda_1) x_1 + ... + c_r (\lambda_{r+1} - \lambda_r) x_r = 0 \tag{4}
c1(λr+1−λ1)x1+...+cr(λr+1−λr)xr=0(4)
由于特征根不同，
λ
r
+
1
−
λ
i
(
i
=
1
,
.
.
.
,
r
)
≠
0
\lambda_{r+1} - \lambda_i(i=1,...,r) \neq 0
λr+1−λi(i=1,...,r)=0，故(4) 式表明特征向量
x
1
,
.
.
,
x
r
x_1, .., x_r
x1,..,xr 线性相关，与假设矛盾。因此，
x
1
,
.
.
.
,
x
r
,
x
r
+
1
x_1, ..., x_r, x_{r+1}
x1,...,xr,xr+1 线性无关。
证毕
分析
该证明利用反证法，有一定的技巧性，一是要把线性无关转化为方程只有零解的形式；二是要利用特征值、特征向量与原矩阵的关系。
此处证明不同特征值对应的特征向量线性无关，但是一个特征值对应的多个特征向量是否线性无关并没有证明。
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