【动态规划】64. 最小路径和

题目

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入:[ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1] ]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

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动态规划

很经典的动态规划题，动态规划是一种优化方法，一般用于求最值，它适用于后一阶段最优取决于上一阶段最优的问题，这类问题一定具备最优子结构，通过子问题的最优值得到原问题的最值，动态规划的过程实际上也是一个填表的过程。

对于该题，需要求从左上角到右下角的最小路径，且只能向下或向右走，则大问题是从左上角走到右下角，大问题的上一阶段是两个子问题：

• q 1 q_1 q1​：从左上角走到右下角的左边一个位置
• q 2 q_2 q2​：从左上角走到右下角的上面一个位置

只要这两个子问题已知，则原问题的解就是 m i n ( q 1 , q 2 ) + g r i d [ m ] [ n ] min(q_1, q_2)+grid[m][n] min(q1​,q2​)+grid[m][n]，同样的，子问题 q 1 q_1 q1​和 q 2 q_2 q2​又对应了各自的两个子问题，因此可以从最小的子问题开始，即从左上角走到左上角，不断得到大问题的解，这个过程就是填表的过程，整个表填完则得到大问题的解

class Solution {
	public int m, n;

	public int minPathSum(int[][] grid) {
		m = grid.length;
		n = grid[0].length;
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				if (i > 0 && j > 0) {
					grid[i][j] = Math.min(grid[i][j - 1], grid[i - 1][j]) + grid[i][j];
				} else {
					if (i == 0 && j == 0)
						continue;
					if (i == 0)
						// top row
						grid[i][j] += grid[i][j - 1];
					if (j == 0)
						// left col
						grid[i][j] += grid[i - 1][j];
				}
			}
		}
		return grid[m - 1][n - 1];
	}
}

递归（超时）

正如上面介绍，原问题的解就是 m i n ( q 1 , q 2 ) + g r i d [ m ] [ n ] min(q_1, q_2)+grid[m][n] min(q1​,q2​)+grid[m][n]，因此也可以使用递归法，但是效率比较低，超时。。。

class Solution {
	public int nums[][], m, n, min;

	public int minPathSum(int[][] grid) {
		m = grid.length;
		n = grid[0].length;
		nums = new int[m][n];
		min = Integer.MAX_VALUE;
		for (int i = 0; i < m; i++)
			for (int j = 0; j < n; j++)
				nums[i][j] = grid[i][j];
		return walk(0, 0);
	}

	public int walk(int i, int j) {
		if (i >= m || j >= n)
			return Integer.MAX_VALUE;
		if (i == m - 1 && j == n - 1)
			// arrive at right down
			return nums[i][j];
		// down or right
		return Math.min(walk(i, j + 1), walk(i + 1, j)) + nums[i][j]; 
	}
}