神经网络：连续输出变量的 Sigmoid 激活函数

好吧，所以我正处于中间Andrew Ng 在 coursera 上的机器学习课程 https://www.coursera.org/course/ml并希望调整作为作业 4 的一部分完成的神经网络。

特别是，我在作业中正确完成的神经网络如下：

• S 型激活函数：g(z) = 1/(1+e^(-z))
• 10个输出单元，每个输出单元可以取0或1
• 1个隐藏层
• 用于最小化成本函数的反向传播方法
• 成本函数：

where L=number of layers, s_l = number of units in layer l, m = number of training examples, K = number of output units

现在我想调整练习，以便有一个连续输出单元可以取 [0,1] 之间的任何值，并且我正在尝试找出需要更改的内容，到目前为止我已经

• 用我自己的数据替换数据，即输出是 0 到 1 之间的连续变量
• 更新了输出单元数量的参考
• Updated the cost function in the back-propagation algorithm to: where a_3 is the value of the output unit determined from forward propagation.

我确信其他一些东西必须改变，因为梯度检查方法显示由反向传播确定的梯度和由数值近似确定的梯度不再匹配。我没有改变 sigmoid 梯度；它被留在f(z)*(1-f(z)) where f(z)是 sigmoid 函数1/(1+e^(-z)))我也没有更新导数公式的数值近似；简单地(J(theta+e) - J(theta-e))/(2e).

谁能建议还需要采取哪些其他步骤？

在Matlab中编码如下：

% FORWARD PROPAGATION
% input layer
a1 = [ones(m,1),X];
% hidden layer
z2 = a1*Theta1';
a2 = sigmoid(z2);
a2 = [ones(m,1),a2];
% output layer
z3 = a2*Theta2';
a3 = sigmoid(z3);

% BACKWARD PROPAGATION
delta3 = a3 - y;
delta2 = delta3*Theta2(:,2:end).*sigmoidGradient(z2);
Theta1_grad = (delta2'*a1)/m;
Theta2_grad = (delta3'*a2)/m;

% COST FUNCTION
J = 1/(2 * m) * sum( (a3-y).^2 );

% Implement regularization with the cost function and gradients.
Theta1_grad(:,2:end) = Theta1_grad(:,2:end) + Theta1(:,2:end)*lambda/m;
Theta2_grad(:,2:end) = Theta2_grad(:,2:end) + Theta2(:,2:end)*lambda/m;
J = J + lambda/(2*m)*( sum(sum(Theta1(:,2:end).^2)) + sum(sum(Theta2(:,2:end).^2)));

我后来意识到这个问题与提问者提出的问题类似StackOverflow 上的 @Mikhail Erofeev https://stackoverflow.com/questions/13255724/gradient-in-continuous-regression-using-a-neural-network，但是在这种情况下，我希望连续变量介于 0 和 1 之间，因此使用 sigmoid 函数。

首先，你的成本函数应该是：

J = 1/m * sum( (a3-y).^2 );

我认为你的Theta2_grad = (delta3'*a2)/m;更改为后预计与数值近似相匹配delta3 = 1/2 * (a3 - y);).

检查这个slide http://people.cs.pitt.edu/~milos/courses/cs2750-Spring03/lectures/class10.pdf更多细节。

EDIT:如果我们的代码之间存在一些细微的差异，我将我的代码粘贴在下面供您参考。该代码已经与数值逼近函数进行了比较checkNNGradients(lambda);，相对差异小于1e-4（不满足1e-11不过，Andrew Ng 博士的要求）

function [J grad] = nnCostFunctionRegression(nn_params, ...
                                   input_layer_size, ...
                                   hidden_layer_size, ...
                                   num_labels, ...
                                   X, y, lambda)

Theta1 = reshape(nn_params(1:hidden_layer_size * (input_layer_size + 1)), ...
                 hidden_layer_size, (input_layer_size + 1));

Theta2 = reshape(nn_params((1 + (hidden_layer_size * (input_layer_size + 1))):end), ...
                 num_labels, (hidden_layer_size + 1));

m = size(X, 1);   
J = 0;
Theta1_grad = zeros(size(Theta1));
Theta2_grad = zeros(size(Theta2));


X = [ones(m, 1) X];   
z1 = sigmoid(X * Theta1');
zs = z1;
z1 = [ones(m, 1) z1];
z2 = z1 * Theta2';
ht = sigmoid(z2);


y_recode = zeros(length(y),num_labels);
for i=1:length(y)
    y_recode(i,y(i))=1;
end    
y = y_recode;


regularization=lambda/2/m*(sum(sum(Theta1(:,2:end).^2))+sum(sum(Theta2(:,2:end).^2)));
J=1/(m)*sum(sum((ht - y).^2))+regularization;
delta_3 = 1/2*(ht - y);
delta_2 = delta_3 * Theta2(:,2:end) .* sigmoidGradient(X * Theta1');

delta_cap2 = delta_3' * z1; 
delta_cap1 = delta_2' * X;

Theta1_grad = ((1/m) * delta_cap1)+ ((lambda/m) * (Theta1));
Theta2_grad = ((1/m) * delta_cap2)+ ((lambda/m) * (Theta2));

Theta1_grad(:,1) = Theta1_grad(:,1)-((lambda/m) * (Theta1(:,1)));
Theta2_grad(:,1) = Theta2_grad(:,1)-((lambda/m) * (Theta2(:,1)));


grad = [Theta1_grad(:) ; Theta2_grad(:)];

end