什么时候会发生下溢？

我陷入了计算的情况1.77e-308/10触发下溢异常，但计算1.777e-308/10才不是。这很奇怪，因为：

当浮点的真实结果发生下溢 操作的幅度小于（即接近于零） 可表示为普通浮点数的最小值 目标数据类型（来自算术下溢，维基百科）

换句话说，如果我们计算x/y两者都在哪里x and y are double，那么如果出现下溢0 < |x/y| < 2.2251e-308（最小正标准化double is 2.2251e-308）。因此，从理论上讲，两者1.77e-308/10 and 1.777e-308/10应触发下溢异常。该理论与我用下面的 C 程序测试的结果相矛盾。

#include <stdio.h>
#include <fenv.h>
#include <math.h>


int main(){
  double x,y;

  // x = 1.77e-308 => underflow
  // x = 1.777e-308 gives  ==> no underflow
  x=1.77e-308;

  feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);
  y=x/10.0;
  if (fetestexcept(FE_UNDERFLOW)) {
    puts("Underflow\n");
  }
  else puts("No underflow\n");
}

为了编译该程序，我使用了gcc program.c -lm;我也尝试了 Clang，它给了我同样的结果。有什么解释吗？

[编辑]我已经通过以下方式分享了上面的代码这个在线IDE http://www.tutorialspoint.com/compile_c_online.php?PID=0Bw_CjBb95KQMcWNMd3hISWRCZnM.

下溢不仅是范围的问题，而且是精度/舍入的问题。

7.12.1 错误情况的处理
如果数学结果的量值太小，以至于无法在指定类型的对象中表示数学结果，而没有异常舍入误差，则结果下溢。 C11 §7.12.1 6

1.777e-308，转换为最接近的binary64 https://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format0x1.98e566222bcfcp-1023 恰好有一个尾数（0x198E566222BCFC，7193376082541820），它是 10 的倍数。因此除以 10 是精确的。无舍入误差。

我发现用十六进制表示法更容易演示。请注意，除了最小值之外，除以 2 始终是精确的。

#include <float.h>
#include <stdio.h>
#include <fenv.h>
#include <math.h>

int uf_test(double x, double denominator){
  printf("%.17e %24a ", x, x);
  feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);
  double y=x/denominator;
  int uf = !!fetestexcept(FE_UNDERFLOW);
  printf("%-24a %s\n", y, uf ? "Underflow" : "");
  return uf;
}

int main(void) {
  uf_test(DBL_MIN, 2.0);
  uf_test(1.777e-308, 2.0);
  uf_test(1.77e-308, 2.0);
  uf_test(DBL_TRUE_MIN, 2.0);

  uf_test(pow(2.0, -1000), 10.0);
  uf_test(DBL_MIN, 10.0);
  uf_test(1.777e-308, 10.0);
  uf_test(1.77e-308, 10.0);
  uf_test(DBL_TRUE_MIN, 10.0);
  return 0;
}

Output

2.22507385850720138e-308                0x1p-1022 0x1p-1023                
1.77700000000000015e-308  0x1.98e566222bcfcp-1023 0x1.98e566222bcfcp-1024  
1.77000000000000003e-308  0x1.97490d21e478cp-1023 0x1.97490d21e478cp-1024  
4.94065645841246544e-324                0x1p-1074 0x0p+0                   Underflow

// No underflow as inexact result is not too small
9.33263618503218879e-302                0x1p-1000 0x1.999999999999ap-1004  
// Underflow as result is too small and inexact
2.22507385850720138e-308                0x1p-1022 0x1.99999999999ap-1026   Underflow
// No underflow as result is exact
1.77700000000000015e-308  0x1.98e566222bcfcp-1023 0x1.471deb4e8973p-1026   
1.77000000000000003e-308  0x1.97490d21e478cp-1023 0x1.45d40a818394p-1026   Underflow
4.94065645841246544e-324                0x1p-1074 0x0p+0                   Underflow