【leetcode】174. 地下城游戏（dungeon-game）（DP）[困难]

链接

https://leetcode-cn.com/problems/dungeon-game/

耗时

解题：0.5 day
题解：19 min

题意

一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

编写一个函数来计算确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

说明:

• 骑士的健康点数没有上限。
• 任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

思路

菜死，我想到了题解里一开始否定的思路，用了一个三维DP（dp[m][n][2]，极其的复杂），但是我没想到：当前路径和、最少初始点数 两个值都很重要，我直接用 最少初始点数 比较优劣，直到我提交才发现：这两都很重要，并且我没有办法分别给它们一个重要性权重，然后我就困在这个思路里了，怎么都没想到 反向 dp。

反向处理，dp[i][j] 表示从 (i,j) 到 (m-1,n-1) 的最少初始点数。因为 dp[i][j] 只能转移到 dp[i+1][j] 和 dp[i][j+1] 所以选出 两者的较小值 min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) 然后在减去当前位置需要的健康点数，即是当前位置到终点所需的最少初始点数。当然如果遇到需要小于 1 的初始点数，把它变为 1。

状态转移方程：

d p [ i ] [ j ] = m a x ( m i n ( d p [ i + 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j + 1 ] ) − d u n g e o n [ i ] [ j ] , 1 ) ; dp[i][j] = max(min(dp[i+1][j], dp[i][j+1])-dungeon[i][j], 1); dp[i][j]=max(min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])−dungeon[i][j],1);

细节：边界 dp[i][n] 和 dp[m][j] 不应使用，置为 INF。dp[m-1][n-1] 需要用到 dp[m-1][n] 和 dp[m][n-1]，将他们置为 1。

时间复杂度： O ( m ∗ n ) O(m*n) O(m∗n)

AC代码

class Solution {
public:
    constexpr static int INF = 0x3f3f3f3f;
    
    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        int m = dungeon.size();
        int n = dungeon[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));
        // init
        for(int i = 0; i < m; ++i) dp[i][n] = INF;
        for(int j = 0; j < n; ++j) dp[m][j] = INF;
        dp[m-1][n] = dp[m][n-1] = 1;
        // reserve dp
        for(int i = m-1; i >= 0; --i) {
            for(int j = n-1; j >= 0; --j) {
                dp[i][j] = max(min(dp[i+1][j], dp[i][j+1])-dungeon[i][j], 1);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
};