【leetcode】96. 不同的二叉搜索树（unique-binary-search-trees）（DP）[中等]

链接

https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

耗时

解题：51 min
题解：36 min

题意

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

思路

透过现象看本质。画图找规律。从1画到4，在画的时候，发现当整数的个数相同时，其实无论它们的数值是什么，二叉搜索树的种数是一样的，比如：以 1 … 3 为节点 和 以 2 … 4 为节点组成的二叉搜索树的个数相同。并且以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树可以将 1 … n 任意一个数作为根节点，那么其左子树可以有 0~n-1 个节点（根节点为1时，左子树有0个节点，根节点为2时，左子树有1个节点，，，），相应地，当左子树有 i 个节点时，右子树对应有 n-1-i 个节点，而且此时的二叉搜索树种数 应该是 左子树（i个节点）的种数 乘以 右子树（n-1-i 个节点）的种数。如果用 f[i] 表示 以 i 为节点组成的二叉搜索树的种数，那么其中 当 左 子 树 有 j 个 节 点 时 的 二 叉 搜 索 树 的 种 数 = f [ j ] ∗ f [ i − 1 − j ] 当左子树有 j 个节点时的二叉搜索树的种数 = f[j]*f[i-1-j] 当左子树有j个节点时的二叉搜索树的种数=f[j]∗f[i−1−j]。最终，以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树的种数就应当是将左子树的节点数为 0~n-1 时的二叉搜索树的种数加起来。
f [ i ] = ∑ j = 0 i − 1 f [ j ] ∗ f [ i − 1 − j ] f[i]=\sum_{j=0}^{i-1} f[j]*f[i-1-j] f[i]=j=0∑i−1​f[j]∗f[i−1−j]

时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

AC代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> f(n+1, 0);
        f[0] = f[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; ++i) {
            for(int j = 0; j < i; ++j) {
                f[i] += f[j]*f[i-1-j];
            }
        }
        return f[n];
    }
};