向量范数的等价性

向量范数的等价

对于任意两个有限维线性空间 V V $V$ 上的范数 ∥⋅∥α,∥⋅∥β,$\Vert \cdot {\Vert }_{\alpha },\Vert \cdot {\Vert }_{\beta },$$\Vert \cdot \Vert _{\alpha}, \Vert \cdot \Vert _{\beta},$ 若存在常数 C1>0,C2>0 C 1 > 0 , C 2 > 0 $C_1 > 0, C_2 > 0$ 使得 ∀η∈V, ∀ η ∈ V , $\forall \eta \in V,$

$$\Vert \eta \Vert _{\alpha} \le C_1 \Vert \eta \Vert _{\beta}, \Vert \eta \Vert _{\beta} \le C_2 \Vert \eta \Vert _{\alpha}$$
则称 ∥⋅∥α ‖ ⋅ ‖ α $\Vert \cdot \Vert _{\alpha}$ 与 ∥⋅∥β ‖ ⋅ ‖ β $\Vert \cdot \Vert _{\beta}$ 是等价的。

性质

有限维线性空间中的任意两种向量范数都是等价的。

证明

设 ξ ξ $\xi$ 是数域为 F F $\mathbb F$ 的 n n $n$ 维线性空间 V$V$$V$ 的一组基。
1. 首先证明对于 V V $V$ 中任意一种范数 ∥⋅∥,$\Vert \cdot \Vert ,$$\Vert \cdot \Vert,$ 函数 φ:Fn↦R,φ(X)=∥ξX∥ φ : F n ↦ R , φ ( X ) = ‖ ξ X ‖ $\varphi: \mathbb F ^n \mapsto R, \varphi (X) = \Vert \xi X \Vert$ 在 L2 L 2 $L_2$ 范数下都是连续的。
对于 V V $V$ 中任意一种范数 ∥⋅∥,∀X,Y∈Fn,$\Vert \cdot \Vert ,\mathrm{\forall }X,Y\in {\mathbb{F}}^n,$$\Vert \cdot \Vert, \forall X, Y \in \mathbb F ^n,$ 令 α=ξX,β=ξY, α = ξ X , β = ξ Y , $\alpha = \xi X, \beta = \xi Y,$ 则
|φ(X)−φ(Y)|=|∥ξX∥−∥ξY∥|=|∥α∥−∥β∥|≤∥α−β∥=∥ξ(X−Y)∥=∥∥∥∑i=1n(xi−yi)ξi∥∥∥ | φ ( X ) − φ ( Y ) | = | ‖ ξ X ‖ − ‖ ξ Y ‖ | = | ‖ α ‖ − ‖ β ‖ | ≤ ‖ α − β ‖ = ‖ ξ ( X − Y ) ‖ = ‖ ∑ i = 1 n ( x i − y i ) ξ i ‖ $\left \vert \varphi (X) - \varphi (Y) \right \vert = \left \vert \Vert \xi X \Vert - \Vert \xi Y \Vert \right \vert = \left \vert \Vert \alpha \Vert - \Vert \beta \Vert \right \vert \le \Vert \alpha - \beta \Vert = \Vert \xi (X - Y) \Vert = \left \Vert \sum \limits_{i = 1} ^{n} (x_i - y_i) \xi_i \right \Vert$
≤∑i=1n∥(xi−yi)ξi∥=∑i=1n|xi−yi|∥ξi∥→0,X→Y ≤ ∑ i = 1 n ‖ ( x i − y i ) ξ i ‖ = ∑ i = 1 n | x i − y i | ‖ ξ i ‖ → 0 , X → Y $\le \sum \limits_{i = 1} ^{n} \Vert (x_i - y_i) \xi_i \Vert = \sum \limits_{i = 1} ^{n} \vert x_i - y_i \vert \Vert \xi_i \Vert \to 0, X \to Y$
因此 φ(X) φ ( X ) $\varphi (X)$ 是连续函数。
2. 于是 φ(Y;α)=∥ξY∥α φ ( Y ; α ) = ‖ ξ Y ‖ α $\varphi (Y; \alpha) = \Vert \xi Y \Vert _{\alpha}$ 在有界闭集 S={Y∈Fn:∥Y∥2=1} S = { Y ∈ F n : ‖ Y ‖ 2 = 1 } $S = \{ Y \in \mathbb F ^n : \Vert Y \Vert _{2} = 1 \}$ 上连续，又 φ(Y;α) φ ( Y ; α ) $\varphi (Y; \alpha)$ 在 S S $S$ 内恒大于零，因此在 S$S$$S$ 内必有最大值 Cmax>0, C max > 0 , $C_{\max} \gt 0,$ 最小值 Cmin>0, C min > 0 , $C_{\min} \gt 0,$
同理可得 φ(Y;β)=∥ξY∥β φ ( Y ; β ) = ‖ ξ Y ‖ β $\varphi (Y; \beta) = \Vert \xi Y \Vert _{\beta}$ 在 S S $S$ 内必有最大值 Dmax>0,$D_{max}>0,$$D_{\max} \gt 0,$ 最小值 Dmin>0, D min > 0 , $D_{\min} \gt 0,$
3. ∀η∈V, ∀ η ∈ V , $\forall \eta \in V,$ 若 η=0⃗ , η = 0 → , $\eta = \vec 0,$ 则命题显然成立。
否则， η≠0⃗ , η ≠ 0 → , $\eta \neq \vec 0,$ 则 ∃X∈Fn,X≠0⃗  ∃ X ∈ F n , X ≠ 0 → $\exists X \in F ^n, X \neq \vec 0$ 使得 η=ξX, η = ξ X , $\eta = \xi X,$
令 Y=1∥X∥2X, Y = 1 ‖ X ‖ 2 X , $Y = \dfrac {1}{\Vert X \Vert_{2} } X,$
则 ∥Y∥2=1, ‖ Y ‖ 2 = 1 , $\Vert Y \Vert _{2} = 1,$ 因此 Y∈S, Y ∈ S , $Y \in S,$
于是 ∥η∥β∥η∥α=∥ξX∥β∥ξX∥α ‖ η ‖ β ‖ η ‖ α = ‖ ξ X ‖ β ‖ ξ X ‖ α $\dfrac {\Vert \eta \Vert _{\beta}}{\Vert \eta \Vert _{\alpha}} = \dfrac {\Vert \xi X \Vert _{\beta}}{\Vert \xi X \Vert _{\alpha}}$
=∥ξY∥β∥ξY∥α∥X∥2∥X∥2 = ‖ ξ Y ‖ β ‖ ξ Y ‖ α ‖ X ‖ 2 ‖ X ‖ 2 $= \dfrac {\Vert \xi Y \Vert _{\beta}}{\Vert \xi Y \Vert _{\alpha}} \dfrac {\Vert X \Vert_{2} } {\Vert X \Vert_{2} }$
=φ(Y;α)φ(Y;β)∈[DminCmax,DmaxCmin] = φ ( Y ; α ) φ ( Y ; β ) ∈ [ D min C max , D max C min ] $= \dfrac {\varphi (Y; \alpha)} {\varphi (Y; \beta) } \in \left [\dfrac {D_{\min}} {C_{\max}}, \dfrac {D_{\max}} {C_{\min}} \right]$ 。
令 C1=DminCmax,C2=DmaxCmin, C 1 = D min C max , C 2 = D max C min , $C_1 = \dfrac {D_{\min}} {C_{\max}} , C_2 = \dfrac {D_{\max}} {C_{\min}} ,$ 则：
0<C1≤∥η∥β∥η∥α≤C2 0 < C 1 ≤ ‖ η ‖ β ‖ η ‖ α ≤ C 2 $0 \lt C_1 \le \dfrac {\Vert \eta \Vert_{\beta} } {\Vert \eta \Vert_{\alpha} } \le C_2$