Coq案例分析和函数返回子集类型的重写

我正在做一个关于使用子集类型编写经过认证的函数的简单练习。想法是先写一个前驱函数

pred : forall  (n : {n : nat | n > 0}), {m : nat | S m = n.1}.

然后使用这个定义给定一个函数

pred2 : forall (n : {n : nat | n > 1}), {m : nat | S (S m) = n.1}.

我对第一个没有问题。这是我的代码

Program Definition pred (n : {n : nat | n > 0}) : {m : nat | S m = n.1} :=
  match n with
  | O => _
  | S n' => n'
  end.
Next Obligation. elimtype False. compute in H. inversion H. Qed.

但我无法解释第二个定义。我试图写出这些定义

Program Definition pred2 (n : {n : nat | n > 1}) : {m : nat | S (S m) = n.1} 
:= pred (pred n).

我设法证明了前两个义务

Next Obligation. apply (gt_trans n 1 0). assumption. auto. Qed.
Next Obligation. 
  destruct pred.  
  simpl.
  simpl in e. 
  rewrite <- e in H.
  apply gt_S_n in H; assumption.
Qed.

但对于最后一项义务，我陷入了困境，因为当我尝试对 pred 的返回类型进行案例分析时，新的假设并未在目标中重写。

我尝试了以下策略但没有结果。

destruct (pred (n: pred2_obligation_1 (n ; H))).

destruct (pred (n; pred2_obligation_1 (n ; H))) eqn:?.
rewrite Heqs.

我知道我可以直接编写 pred2，但想法是使用和组合函数 pred。

原因destruct没有任何效果可能是因为您尝试进行案例分析的内容没有出现在目标中。该术语的隐式参数可能与目标中该术语的隐式参数不匹配。无论哪种方式，您都无法在不使目标类型错误的情况下对该术语进行案例分析。

但你可以通过案例分析来证明这一义务n.

Next Obligation.
destruct n.
inversion H.
destruct n.
inversion H.
subst.
inversion H1.
cbn.
eauto.
Qed.

我还能够证明一些辅助定理，但由于所有类型依赖性，我无法使用它们。

Theorem T1 : forall s1, S (` (pred s1)) = ` s1.
Proof. intros [[| n1] H1]. inversion H1. cbn. eauto. Qed.

Theorem T2 : forall T1 (P1 : T1 -> Prop) s1 H1, (forall x1 (H1 H2 : P1 x1), H1 = H2) -> exist P1 (` s1) H1 = s1.
Proof. intros ? ? [x1 H1] H2 H3. cbn in *. rewrite (H3 _ H1 H2). eauto. Qed.

我从未见过destruct用在函数上。我很惊讶 Coq 没有抱怨该函数不是归纳定义的。