Python：有限制的非线性优化（Gekko？）

我希望能够用Python解决以下问题：

给定观测数据 x(1)....x(n) 和已知的固定目标“B”和公差“E”，求解参数 a0、a1 和 a2，从而最小化：

总和(w(i)^2)

其中 w(i)=exp[a0+a1x(i)+a2x(i)^2]

具有以下两个限制：

1. sum(w(i)) = n ，即 w(i) 的平均值等于 1
2. abs[sum(w(i)*x(i)/n) - B]

我已经尝试使用 Gekko 和 Optimize 包好几个星期了，但我是一个 Python 新手，而且真的很挣扎。多次尝试使用 ChatGPT 也没有帮助。

任何帮助感激不尽！

亲切的问候， 乔纳森

这是一个潜在的解决方案。

import numpy as np
from gekko import GEKKO
m = GEKKO(remote=False)
x = np.array([1,2,5,3,2.7,5.1,2.5]); n = len(x)
a = m.Array(m.Var,3,lb=-100,ub=100)
w = np.array([m.Intermediate(m.exp(a[0]+a[1]*x[i]\
                                   +a[2]*x[i]**2))
                  for i in range(n)])
B = 3.1
E = 0.08
Ec = m.Intermediate(m.sum(w*x)/n-B)
m.Equation(m.abs3(Ec)<E)
m.Equation(m.sum(w)==n)
m.Minimize(m.sum(w**2))
m.solve()

这可以使用 APPT 求解器在一次迭代中求解。它将采用新的数据、目标和公差值提供不同的解决方案。

 ---------------------------------------------------
 Solver         :  APOPT (v1.0)
 Solution time  :  0.023999999999999997 sec
 Objective      :  6.999999999999998
 Successful solution
 ---------------------------------------------------

这是显示解决方案的代码：

print('-'*10)
for i in range(3):
    print(f'a{i}={a[i].value[0]:.3g}')
print('-'*10)
for i in range(n):
    print(f'w{i}={w[i].value[0]:.3g}')
print('-'*10)
print(f'Ec={Ec.value[0]} E={E}')
print('-'*10)

结果表明满足所有约束条件。

----------
a0=-7.38e-09
a1=4.91e-09
a2=-6.73e-10
----------
w0=1
w1=1
w2=1
w3=1
w4=1
w5=1
w6=1
----------
Ec=-0.057142856157 E=0.08
----------

如果存在不可行的解决方案，则最小化 E 而不是设置硬限制。

# E = 0.08
E = m.Var(lb=0,ub=10)
m.Minimize(1e-4*E)

您还可以尝试使用方程两边的平方（以删除绝对值）。

m.Equation(Ec<E**2)

这避免了需要 APOPT 求解器的二进制变量。通过对方程两边进行平方，您可以切换到 IPOPT 求解器：m.options.SOLVER=3或者只使用 Gekko 中的默认选项。