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在 Julia 中有效求解特定线性系统

2024-04-13

我广泛使用朱莉娅的线性方程求解器res = X\b。由于参数变化，我必须在程序中使用它数百万次。这工作正常，因为我使用的是小尺寸（最多30）。现在我想分析更大的系统，最多1000，线性求解器不再有效。

我认为可以有一个解决办法。然而我必须说，有时我的 X 矩阵很密集，有时又很稀疏，所以我需要一些能够在这两种情况下正常工作的东西。

The b向量是一个全为零的向量，除了一个始终为1（实际上它总是最后一个条目）。此外，我不需要所有res向量，只是它的第一个条目。


如果您的问题是以下形式(A - µI)x = b, where µ是一个可变参数并且A, b是固定的，你可以使用对角化。

Let A = PDP° where P°表示的倒数P. Then (PDP° - µI)x = b可以转化为

(D - µI)P°x = P°b, 
P°x = P°b / (D - µI), 
x = P(P°b / (D - µI)).

(the /运算表示各个向量元素除以标量Dr - µ.)

对角化后A，计算任意的解µ减少为两个矩阵/向量乘积，或者如果您还可以预先计算，则减少为单个矩阵/向量乘积P°b.

数值不稳定将出现在特征值附近A.

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