IMU能够测量到三轴加速度和角速度，那么如何在slam中使用imu测量得到的数据呢？Fast-lio的论文中有很好的演示：
上述公式中，最让我不能理解的就是这个
d
R
d
t
=
R
[
ω
]
×
\frac{dR}{dt} = R \left[ \omega \right]_{\times}
dtdR=R[ω]×，这个式子的推导需要矩阵微分的知识。我也在网上看到很多推导，但都让我很难理解，在我和GPT的交流中，意外获得了一些推导思路，在这里整理下来。推到过程不保证正确，但是很通顺流畅，欢迎批评指正！
首先，我们可以将旋转矩阵
R
R
R 表示为旋转向量
ω
\omega
ω 的指数函数形式，即
R
=
e
[
θ
]
×
R = e^{\left[ \theta\right]_{\times}}
R=e[θ]×
然后，对
R
R
R 求导数，得到
d
R
d
t
=
d
d
t
(
e
[
θ
]
×
)
\frac{dR}{dt} = \frac{d}{dt} \left( e^{\left[ \theta \right]_{\times}} \right)
dtdR=dtd(e[θ]×)
根据矩阵微分与链式法则，可以将上式写成
d
R
d
t
=
d
(
e
[
θ
]
×
)
d
[
θ
]
×
d
[
θ
]
×
d
t
=
e
[
θ
]
×
d
[
θ
]
×
d
t
\frac{dR}{dt} = \frac{d \left( e^{\left[ \theta \right]_{\times}} \right)}{d \left[ \theta\right]_{\times}} \frac{d \left[ \theta\right]_{\times}}{dt}= e^{\left[ \theta \right]_{\times}} \frac{d \left[ \theta\right]_{\times}}{dt}
dtdR=d[θ]×d(e[θ]×)dtd[θ]×=e[θ]×dtd[θ]×
对于
d
[
θ
]
×
d
t
\frac{d \left[ \theta \right]_{\times}}{dt}
dtd[θ]×，根据导数定义和反对称矩阵性质
d
[
θ
]
×
d
t
=
lim
Δ
t
→
0
[
θ
(
t
+
Δ
t
)
]
×
−
[
θ
(
t
)
]
×
Δ
t
+
O
(
Δ
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
[
θ
(
t
+
Δ
t
)
−
θ
(
t
)
]
×
Δ
t
+
O
(
Δ
t
)
=
[
ω
]
×
\frac{d \left[ \theta \right]_{\times}}{dt}= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\left[ \theta(t+\Delta t) \right]_{\times}- \left[\theta(t) \right]_{\times}}{\Delta t} + O(\Delta t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\left[ \theta(t+\Delta t) - \theta(t) \right]_{\times}}{\Delta t} + O(\Delta t)=\left[ \omega \right]_{\times}
dtd[θ]×=Δt→0limΔt[θ(t+Δt)]×−[θ(t)]×+O(Δt)=Δt→0limΔt[θ(t+Δt)−θ(t)]×+O(Δt)=[ω]×
将
[
ω
]
×
\left[ \omega \right]_{\times}
[ω]× 的定义代入上式，可以得到
d
R
d
t
=
R
[
ω
]
×
\frac{dR}{dt} = R \left[ \omega \right]_{\times}
dtdR=R[ω]×
其中，
R
R
R 表示旋转矩阵，
[
ω
]
×
\left[ \omega \right]_{\times}
[ω]× 表示的叉乘矩阵，具体形式为
[
ω
]
×
=
[
0
−
ω
z
ω
y
ω
z
0
−
ω
x
−
ω
y
ω
x
0
]
\left[ \omega \right]_{\times} = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix}
[ω]×=
0ωz−ωy−ωz0ωxωy−ωx0
需要注意的是，这里的 R \mathbf{R} R是 G R ˙ I \mathbf{^G}\dot{\mathbf{R}}_I GR˙I，即世界坐标系下 IMU 系的姿态R对时间t的导数，这里的 ω \mathbf{\omega} ω是imu传感器的三轴角速度测量值 b o d y ω ^{body}\omega bodyω
ps.第一次用markdown写东西，排版仍有很大提升空间 : )
