仅使用 NumPy einsum 处理上三角元素

我使用 numpy einsum 来计算形状为 (3,N) 的列向量 pts 数组与其自身的点积，从而得到形状为 (N,N) 的矩阵 dotps 与所有点积。这是我使用的代码：

dotps = np.einsum('ij,ik->jk', pts, pts)

这可行，但我只需要主对角线上方的值。 IE。结果的上三角部分，不含对角线。是否可以使用 einsum 只计算这些值？或者以任何其他比使用 einsum 计算整个矩阵更快的方式？

我的 pts 数组可能非常大，因此如果我只能计算我需要的值，这将使我的计算速度加倍。

您可以对相关列进行切片，然后使用np.einsum http://docs.scipy.org/doc/numpy-1.10.0/reference/generated/numpy.einsum.html -

R,C = np.triu_indices(N,1)
out = np.einsum('ij,ij->j',pts[:,R],pts[:,C])

样本运行 -

In [109]: N = 5
     ...: pts = np.random.rand(3,N)
     ...: dotps = np.einsum('ij,ik->jk', pts, pts)
     ...: 

In [110]: dotps
Out[110]: 
array([[ 0.26529103,  0.30626052,  0.18373867,  0.13602931,  0.51162729],
       [ 0.30626052,  0.56132272,  0.5938057 ,  0.28750708,  0.9876753 ],
       [ 0.18373867,  0.5938057 ,  0.84699103,  0.35788749,  1.04483158],
       [ 0.13602931,  0.28750708,  0.35788749,  0.18274288,  0.4612556 ],
       [ 0.51162729,  0.9876753 ,  1.04483158,  0.4612556 ,  1.82723949]])

In [111]: R,C = np.triu_indices(N,1)
     ...: out = np.einsum('ij,ij->j',pts[:,R],pts[:,C])
     ...: 

In [112]: out
Out[112]: 
array([ 0.30626052,  0.18373867,  0.13602931,  0.51162729,  0.5938057 ,
        0.28750708,  0.9876753 ,  0.35788749,  1.04483158,  0.4612556 ])

进一步优化——

让我们对我们的方法进行计时，看看在性能方面是否有任何改进的余地。

In [126]: N = 5000

In [127]: pts = np.random.rand(3,N)

In [128]: %timeit np.triu_indices(N,1)
1 loops, best of 3: 413 ms per loop

In [129]: R,C = np.triu_indices(N,1)

In [130]: %timeit np.einsum('ij,ij->j',pts[:,R],pts[:,C])
1 loops, best of 3: 1.47 s per loop

在内存限制范围内，我们似乎无法做太多优化np.einsum。那么，让我们把焦点转移到np.triu_indices.

For N = 4， 我们有 ：

In [131]: N = 4

In [132]: np.triu_indices(N,1)
Out[132]: (array([0, 0, 0, 1, 1, 2]), array([1, 2, 3, 2, 3, 3]))

它似乎正在创造一种规则的模式，但有点像一种变化的模式。这可以用在这些位置发生变化的累积和来写3 and 5职位。一般来说，我们最终会像这样编写代码 -

def triu_indices_cumsum(N):

    # Length of R and C index arrays
    L = (N*(N-1))/2

    # Positions along the R and C arrays that indicate 
    # shifting to the next row of the full array
    shifts_idx = np.arange(2,N)[::-1].cumsum()

    # Initialize "shift" arrays for finally leading to R and C
    shifts1_arr = np.zeros(L,dtype=int)
    shifts2_arr = np.ones(L,dtype=int)

    # At shift positions along the shifts array set appropriate values, 
    # such that when cumulative summed would lead to desired R and C arrays.
    shifts1_arr[shifts_idx] = 1
    shifts2_arr[shifts_idx] = -np.arange(N-2)[::-1]

    # Finall cumsum to give R, C
    R_arr = shifts1_arr.cumsum()
    C_arr = shifts2_arr.cumsum()
    return R_arr, C_arr

让我们为各种时间安排N's!

In [133]: N = 100

In [134]: %timeit np.triu_indices(N,1)
10000 loops, best of 3: 122 µs per loop

In [135]: %timeit triu_indices_cumsum(N)
10000 loops, best of 3: 61.7 µs per loop

In [136]: N = 1000

In [137]: %timeit np.triu_indices(N,1)
100 loops, best of 3: 17 ms per loop

In [138]: %timeit triu_indices_cumsum(N)
100 loops, best of 3: 16.3 ms per loop

因此，它看起来像体面的N's，基于定制的 cumsumtriu_indices也许值得一瞧！