混沌无形
混沌系统是世界本质，无形之中存在规律。机器人智能化发展从线性过渡到混沌，本号将分享机器人全栈技术（感知、规划、控制；软件、机械、硬件等）。
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摘要：本文先描述了麦克纳姆轮的构型及基本特点，接着对单个麦克纳姆轮进行了受力分析，指出沿辊子轴线的静摩擦力为有效力，并在此基础上分析了麦轮线速度和平行于辊子轴线的分速度之间的关系，给出速度分解方程；最后，总结分析了麦克纳姆轮的在实际使用过程中的特点及问题。
01
引言
本为介绍麦克纳姆轮全向移动平台的运动学模型，结果在分析麦克纳姆轮本身的时候发现里面藏着一些有趣的东西，故写此文介绍。（感兴趣的读者可以先点击下图链接感受麦轮平台炫酷运动的视频）
图 1.1 MIT RACECAR (DIY Mecanum Wheels Robot)
我们生活中随处可见的是橡胶轮胎（如图 1.2（a）），但麦克纳姆轮（下文简称麦轮）在生活中并不常见，但这并不影响麦轮平台非常炫酷的运动模式，包括前行、横移、斜行、旋转及其组合等多种运动方式。
如图 1.1所示，麦轮平台就是由四个麦克纳姆轮按照一定规律排布组成的移动平台。麦轮平台具备全方位移动性能的奥秘就在于麦轮及其布置方式。这里先贴一段维基百科对麦克纳姆轮（如图 1.2（b））由来的介绍：
麦克纳姆轮是一种全向轮，因为由在瑞典麦克纳姆公司（Mecanum AB）工作的工程师本特·艾隆（Bengt Erland Ilon，1923～2008）发明而得名，在1972年11月13日在美国专利及商标局注册。[1]
图 1.2 轮. （a）橡胶轮,（b）麦克纳姆轮
02
麦轮构型分析
如图 1.2所示，相较于生活中常见的橡胶轮胎，麦克纳姆轮显得与众不同，从图 1.2（b）中可知，麦轮由轮毂和辊子组成：轮毂是整个轮子的主体支架，辊子则是安装在轮毂上的鼓状物（小轮），两者组成一个完整的大轮。
如图 2.1（a）所示，轮毂轴线与辊子转轴夹角呈45度，理论上该夹角可为任意值，但市面上主流为45度。为满足该几何关系，轮毂边缘采用了折弯工艺，可为辊子的转轴提供安装孔，因此辊子是被动轮。
图 2.1 麦克纳姆轮结构示意图. （a）轮结构分析, （b）辊子受力分析. 图中坐标系红色表示_x_轴，绿色表示_y_轴，蓝色表示_z_轴，辊子坐标系用虚线表示，轮毂坐标系用实线表示；黄色箭头表示麦轮和辊子的受力分析；蓝色箭头表示速度方向。
03
单麦轮受力分析
3.1
接触点摩擦力分析
从图 2.1（a）中可知，麦轮外围的辊子是与地面接触的，当麦轮绕轮毂轴转动时，辊子会与地面产生摩擦力F_f_，其作用力方向为轮毂坐标系_y_轴正方向（至关重要）。
具体分析，如图 2.1（b）所示，当轮毂前向（绕轮毂轴线逆时针）转动时，辊子被动与地面接触，而辊子与地面接触可理想化视为点接触，该接触点在“碰到”地面瞬间会受到与其运动方向相反的作用力（和普通轮胎分析相似），接触点的“运动方向”为正向后（图 2.1（b）蓝色箭头），所以摩擦力方向为正向前（图 2.1（b）轮毂坐标系_y_轴正向）
[引用：摩擦力总是朝着阻碍运动的方向]。
3.2
摩擦力分解
在图 2.1（b）中，将地面摩擦力F_f_沿着垂直和平行于辊子轴线方向进行力分解，由于辊子是被动轮，因此会受到垂直于轮毂轴线的分力F⊥作用而被动转动，也说明分力F⊥是滚动摩擦力，对辊子的磨损较大；平行于轮毂轴线的分力F∥也会迫使辊子运动，只不过是主动运动（辊子被轴线两侧轮毂机械限位），所以分力F∥是静摩擦。
总结下来，地面作用于辊子的摩擦力分解为滚动摩擦力和静摩擦力，滚动摩擦力促使辊子转动，属于无效运动；静摩擦力促使辊子相对地面运动（类似于普通橡胶轮胎运动情况），而辊子被轮毂“卡住”，因而带动整个麦轮沿着辊子轴线运动（即轮毂逆时针旋转，运动方向为左上45°；轮毂顺时针旋转，运动方向为右下45°）。
进一步总结：电机输入轮毂的扭矩，一部分被辊子自转“浪费掉”，另一部分形成静摩擦驱动麦轮整体运动；单个麦轮实际的（受力）运动方向为辊子轴向方向，因此改变辊子轴线和轮毂轴线的夹角，就可以改变麦轮实际的（受力）运动方向。
3.3
深入探讨
问题1：为什么垂直于轮毂轴线的分力迫使辊子被动自转是无效运动？
这里对“分力F⊥迫使辊子被动自转是无效运动”做进一步分析，请跟随笔者做两个想象实验：
图 3.1 假想的无效麦轮
①假如辊子轴线和轮毂轴线平行（如图 3.1），轮毂受电机驱动而主动转动，则地面作用于辊子的摩擦力全为滚动摩擦力，滚动摩擦力全部用于驱动辊子飞速转动，但麦轮本身并不会有丝毫的前进或后退。这个现象就如滚子轴承（或行星齿轮），外圈固定，内圈疯狂转动，但被滚子转动给抵消掉了，外圈自身并不会运动。
②我们日常滑轮滑时，如果让两只轮滑鞋方向始终保持平行运动，我们肯定是原地不动的，只能让别人来推动前进，所以我们要让两只滑冰鞋呈一定夹角（外八字）而相对运动，这样我们才能这种“夹角”借力逐渐“提升”速度，这个力就是平行于轮子轴线的分力，这个分力和惯性会使得我们“向前”运动，而垂直于轮子轴线的分力只是促使轮子滚动运动合力中一个部分，并不“推动”我们“向前”运动。
所以垂直于轮毂轴线的分力并不用于主动驱动机器人运动，而是被辊子消耗掉了。
有条件的读者可以做一个简易实验感受下：如图 3.2所示，将麦轮通过联轴器与电机轴相连，并控制电机转动，让麦轮与地面接触，就可感受到麦轮自身是沿着平行于轮毂轴线方向运动。这就是麦轮的独特之处，也是麦轮平台运动模式多变的根本原因。
图 3.2 麦轮运动方向分析（图片来源参考[3]）
04
速度分解
如图 4.1所示，将麦轮按照一定排布方式进行配置，就组合为经典的麦轮平台，以机器人几何中心为原点建立坐标系，前向运动方向为_x_轴正方向（红色箭头），与之垂直向左为_y_轴正方向（绿色箭头），_z_轴垂直于纸面向外，满足右手定则。速度定义方式与《两轮差速驱动机器人运动模型及应用分析》相似。
图 4.1 运动分解示意图
而要对麦轮平台运动学模型分析的前提是要对麦轮运动的速度进行分析。这里单独将右前轮的子系统拿出来分析，具体如图 4.2所示。
其中，_v_4表示麦轮在麦轮平台中的实际运动速度（即图 4.2中的线速度），但与本节分析的内容关系不大。_v__w_4表示辊子外侧与地面接触点的线速度，也可以理解为麦轮悬空时转动最外侧的麦轮边界的线速度，_w_4表示轮毂转动角速度，_v_∥4表示平行于辊子轴线的速度，也可以理解为单个转动的麦轮在地面上的实际运动速度（即图 3.2中的纸张运动的线速度）。
图 4.2 右前轮速度分解
这里主要分析辊子外侧与地面接触点的线速度（_v__w_4）和平行于辊子轴线的速度（_v_∥4）之间的关系。这是因为平行于辊子轴线的速度是有效速度，而垂直于辊子轴线的速度是被动的无效速度。
需要理解的一个问题是：平行于辊子轴线的速度（_v_∥4）是怎么产生的呢？
基于章节3.2中的分析，将图 4.2视为一套独立系统，电机M4转动带动轮毂转动，假如麦轮悬空未与地面接触（辊子未绕辊子轴线转动），则辊子外侧速度方向与_x_轴平行，其大小表示为
式中，_w_4表示轮毂转动角速度，_R_表示麦轮（等效）半径，即辊子外侧到轮毂轴线的距离，_v__w_4表示辊子外侧与地面接触点的线速度。
但当麦轮与地面接触，情况则会发生变化：摩擦力会使辊子绕辊子轴线转动，电机扭矩提供的主动力则会产生分解，而有效转换的静摩擦力是分力F∥4（参考图 2.1（b）），也就是说分力F∥4是促使麦轮平台有效运动的力（主动），对应速度分解也是一个道理，可理解为假如只有图 4.2中一个麦轮在地面运动，当电机以速度_w_4转动，那么麦轮4将以分速度_v_∥4沿着辊子轴线主动运动，而辊子将自动适应以某一速度绕自身轴线被动旋转，所以平行于辊子轴线的分速度（_v_∥4）与电机转速的关系可表示为
式中，_w_4表示电机输出轴的实际角速度，_R_表示麦轮的实际半径，45度表示辊子轴线与轮毂轴线的夹角，可见改变该夹角便可改变上式的比例关系。
可见，电机输出轴转速与麦轮分速度（_v_∥4）[也是麦轮实际有效运动速度]呈固定比例关系，而垂直于辊子轴线的速度用于提供辊子自身旋转了，也可以认为是被用于滚动摩擦内耗掉了，并没有对麦轮实际运动提供有效推动作用。
因此，可以控制4个麦轮以不同的速度旋转，麦轮平台便可实现不同的运动效果。
05
结论
总结上述分析，麦轮运动过程中存在较大滚动摩擦，辊子的磨损比普通轮胎严重，因此适用于比较平滑的路面，若遭遇粗糙复杂的地形时耐久性要大打折扣。
麦轮旋转角速度与麦轮沿着辊子轴线运动的速度（实际有效速度）是呈正比关系的，且与轮毂轴线和辊子轴线夹角有关，这是麦轮平台速度分解的基础。
此外，由于辊子之间的非连续性，所以麦轮运动过程总存在连续微小震动，这需要设计悬挂机构等辅助机构来消除，也可改变辊子材料属性使得辊子变软来减小震动幅度。且轮毂结构较为复杂，单个麦轮的零部件较多，因此生产制造成本也较高。
后面会持续更新麦轮平台运动模型分析，敬请期待。
（文章仅笔者个人分析，有误请指正，谢谢！）
参考资料
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Mecanum_wheel
[2] Li X , Herberger W , Xu W , et al. Experimental validation of energy consumption model for the four-wheeled omnidirectional Mecanum robots for energy-optimal motion control[C]// 2016 IEEE 14th International Workshop on Advanced Motion Control (AMC). IEEE, 2016.
[3]https://www.bilibili.com/video/BV1gJ411V7sy?from=search&seid=6746914678707764427
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