补充内容：
现代控制理论与经典控制理论的区别：
经典控制理论主要是借助于传递函数研究系统输出与输入的关系，而不管系统到底内部结构如何，好比一个未知的“黑匣子”。现代控制理论相对而言是要研究系统内部的各种变量、状态之类的（一些设计、改进性能都需要），传递函数此时就显得不那么直观和明了。
经典控制理论中传递函数的极点决定了系统的稳定性，矩阵的特征值决定了系统的稳定性。
总结：
通过拉普拉斯变换将状态-空间方程转换为传递函数。
x
˙
=
A
x
+
B
u
y
=
C
x
+
D
u
\begin{aligned}&\dot{x}=A x+B u \\&y=C x+D u\end{aligned}
x˙=Ax+Buy=Cx+Du
X
s
=
(
s
I
−
A
)
−
1
B
U
s
X_{s}=(s I-A)^{-1} B U_{s}
Xs=(sI−A)−1BUs
Y
s
=
C
X
s
+
D
U
s
=
(
C
(
s
I
−
A
)
−
1
B
+
D
)
U
s
\begin{aligned}Y_{s} &=C X_{s}+D U_{s} \\&=\left(C(s I-A)^{-1} B+D\right) U_{s}\end{aligned}
Ys=CXs+DUs=(C(sI−A)−1B+D)Us
-
注：
(
s
I
−
A
)
−
1
=
(
s
I
−
A
)
∗
∣
s
I
−
A
∣
(s I-A)^{-1}=\frac{(s I-A)^{*}}{|s I-A|}
(sI−A)−1=∣sI−A∣(sI−A)∗
另
∣
s
I
−
A
∣
=
0
|s I-A|=0
∣sI−A∣=0求解出来的值为系统的极点，使系统在极点处稳定。
特征值和特征向量的关系：
A
v
=
λ
v
(
A
−
λ
I
)
v
=
0
∣
A
−
λ
I
∣
=
0
A v=\lambda v\\(A-\lambda I)v=0\\|A-\lambda I|=0
Av=λv(A−λI)v=0∣A−λI∣=0
G
(
s
)
=
C
(
s
I
−
A
)
−
1
B
+
D
G(s)=C(s I-A)^{-1} B+D
G(s)=C(sI−A)−1B+D
开环系统无反馈
X
˙
=
A
X
\dot{X}=A X
X˙=AX
根据A矩阵的特征值来判断系统的表现
微分方程的解可以表示为：
x
1
=
C
11
e
λ
1
t
+
C
12
e
λ
2
t
+
⋯
x
2
=
C
21
e
λ
1
t
+
C
22
e
λ
2
t
+
⋯
\begin{aligned}&x_{1}=C_{11} e^{\lambda_{1} t}+C_{12} e^{\lambda_{2} t}+\cdots \\&x_{2}=C_{21} e^{\lambda_{1} t}+C_{22} e^{\lambda_{2} t}+\cdots\end{aligned}
x1=C11eλ1t+C12eλ2t+⋯x2=C21eλ1t+C22eλ2t+⋯
λ
1
>
0
,
t
→
∞
,
e
λ
1
t
→
∞
λ
1
<
0
,
t
→
∞
,
e
λ
1
t
→
0
\begin{aligned}&\lambda_{1}>0, t \rightarrow \infty, e^{\lambda_{1} t} \rightarrow \infty \\&\lambda_{1}<0, t \rightarrow \infty, e^{\lambda_{1} t} \rightarrow 0\end{aligned}
λ1>0,t→∞,eλ1t→∞λ1<0,t→∞,eλ1t→0
微分方程的解趋近于零说明系统达到稳定
因此对于二元微分方程只要特征值的实部
Re
(
λ
1
)
,
Re
(
λ
2
)
<
0
\operatorname{Re}\left(\lambda_{1}\right), \operatorname{Re}\left(\lambda_{2}\right)<0
Re(λ1),Re(λ2)<0，系统就能达到稳定。
如果特征值有虚部
λ
=
a
+
b
i
\lambda=a+b i
λ=a+bi
e
λ
t
=
e
a
t
⋅
e
i
b
t
e^{\lambda t}=e^{a t} \cdot e^{i b t}
eλt=eat⋅eibt
根据欧拉公式：
e
i
t
=
cos
+
i
sin
t
e^{i t}=\cos +i \sin t
eit=cos+isint
特征值有虚部，即引入了一个震荡。
- 闭环系统
令
u
=
−
k
x
u=-k x
u=−kx，让式子变成微分方程形式
x
˙
=
A
x
−
B
k
x
=
(
A
−
B
k
)
x
\dot{x}=A x-B k x=(A-B k) x
x˙=Ax−Bkx=(A−Bk)x
LQR方法选择不同的k.
对于某一些系统，x 是不可测的，因此我们用的是 x 的估计值，估计 x 就是观测器
x
^
˙
=
A
x
^
+
B
u
+
L
(
y
−
y
^
)
y
^
=
C
x
^
+
D
u
\begin{gathered}\dot{\hat{x}}=A \hat{x}+B u+L(y-\hat{y}) \\\hat{y}=C \hat{x}+D u\end{gathered}
x^˙=Ax^+Bu+L(y−y^)y^=Cx^+Du
e
˙
=
(
A
−
L
C
)
e
\dot{e}=(A-L C) e
e˙=(A−LC)e
将闭环系统写为开环系统样式
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