该模型同时适用于快变或慢变的信道。
推导过程
假设发送信号为
s
(
t
)
=
R
e
{
u
(
t
)
e
j
2
π
f
c
t
}
=
R
e
{
u
(
t
)
}
c
o
s
(
2
π
f
c
t
)
−
I
m
{
u
(
t
)
}
s
i
n
(
2
π
f
c
t
)
（
1
）
s(t)=\rm{Re}\left\{u(t)e^{j2\pi f_c t}\right\}=\rm{Re}\left\{u(t)\right\}cos(2\pi f_c t)-\rm{Im}\left\{u(t)\right\}sin(2\pi f_c t) （1）
s(t)=Re{u(t)ej2πfct}=Re{u(t)}cos(2πfct)−Im{u(t)}sin(2πfct)（1）
式中，
u
(
t
)
u(t)
u(t)是
s
(
t
)
s(t)
s(t)的等效基带信号，其带宽为
B
u
B_u
Bu，
f
c
f_c
fc为载波频率。忽略噪声的情况下，接收信号是直射信号分量以及所有可分辨多径分量之和，表达式如下
r
(
t
)
=
R
e
{
∑
n
=
0
N
(
t
)
α
n
(
t
)
u
(
t
−
τ
n
(
t
)
)
e
j
(
2
π
f
c
(
t
−
τ
n
(
t
)
)
+
ϕ
D
n
(
t
)
)
}
（
2
）
r(t) = \rm{Re} \left\{\sum_{n=0}^{N(t)}\alpha_n(t)u(t-\tau_n(t))e^{j(2\pi f_c(t-\tau_n(t))+\phi_{D_{n}}(t))}\right\} （2）
r(t)=Re⎩
⎨
⎧n=0∑N(t)αn(t)u(t−τn(t))ej(2πfc(t−τn(t))+ϕDn(t))⎭
⎬
⎫（2）
式中，
n
=
0
n=0
n=0对应直射路径；
N
(
t
)
N(t)
N(t)表示可分辨多径的数目；第
n
n
n径信号幅度为
α
n
(
t
)
\alpha_n(t)
αn(t)；各径路径长度设为
r
n
(
t
)
r_{n}(t)
rn(t)，
τ
n
(
t
)
=
r
n
(
t
)
/
c
\tau_n(t)=r_n(t)/c
τn(t)=rn(t)/c 表示相应的时延；多普勒频移
ϕ
D
n
(
t
)
\phi_{D_{n}}(t)
ϕDn(t)。
解析接收信号表达式各参量的由来：
α
n
(
t
)
\alpha_n(t)
αn(t)：每一个可分辨径可能是由单个反射体形成，也可能是由一簇时延基本相同的反射体形成的。如果第
n
n
n径是由单个反射体形成，则
α
n
(
t
)
\alpha_n(t)
αn(t)由该路径的路径损耗和阴影衰落确定。
e
−
j
(
2
π
f
c
τ
n
(
t
)
)
e^{-j(2\pi f_c\tau_n(t))}
e−j(2πfcτn(t))：表示由于时延
τ
n
(
t
)
\tau_n(t)
τn(t)引起的相移。
e
j
(
2
π
f
c
t
)
e^{j(2\pi f_c t)}
ej(2πfct)：作用是将基带信号搬移到载波频率上。
ϕ
D
n
(
t
)
\phi_{D_{n}}(t)
ϕDn(t)：多普勒相移源于多普勒频移，我们知道多普勒频移的公式为
f
D
n
(
t
)
=
v
c
o
s
θ
n
(
t
)
/
λ
f_{D_n}(t)=vcos\theta_n(t)/\lambda
fDn(t)=vcosθn(t)/λ，其中
θ
n
(
t
)
\theta_n(t)
θn(t)是信号到达方向和接收机移动方向之间的夹角。由多普勒频移导致多普勒相移
ϕ
D
n
(
t
)
=
∫
2
π
f
D
n
(
τ
)
d
τ
\phi_{D_{n}}(t)=\int{2\pi f_{D_n}(\tau)d\tau}
ϕDn(t)=∫2πfDn(τ)dτ。
\quad 这里还要对式(2)说明一下，式(2)一共有 N ( t ) + 1 N(t)+1 N(t)+1项，这里的每一项有可能是单反射体形成的分量，也有可能是多个不可分辨分量的和。对于宽带信道来说，两者都有可能；而对于窄带信道来说，每一项都是多个不可分辨分量的和。
令
ϕ
n
(
t
)
=
2
π
f
c
τ
n
(
t
)
−
ϕ
D
n
(
t
)
\phi_n(t) =2\pi f_c\tau_n(t)-\phi_{D_{n}}(t)
ϕn(t)=2πfcτn(t)−ϕDn(t)，则有
r
(
t
)
=
R
e
{
[
∑
n
=
0
N
(
t
)
α
n
(
t
)
e
−
j
ϕ
n
(
t
)
u
(
t
−
τ
n
(
t
)
)
]
e
j
2
π
f
c
t
}
（
3
）
r(t)= \rm{Re} \left\{ \left[ \sum_{n=0}^{N(t)}\alpha_n(t) e^{-j\phi_n(t)}u(t-\tau_n(t)) \right]e^{j2\pi f_c t} \right \} （3）
r(t)=Re⎩
⎨
⎧⎣
⎡n=0∑N(t)αn(t)e−jϕn(t)u(t−τn(t))⎦
⎤ej2πfct⎭
⎬
⎫（3）
\quad
首先，参数
α
n
(
t
)
\alpha_n(t)
αn(t)和
ϕ
n
(
t
)
\phi_n(t)
ϕn(t)均会随时间变化而变化，因此它们属于随机过程。其次，由于
α
n
(
t
)
\alpha_n(t)
αn(t)取决于路径损耗和阴影衰落，而
ϕ
n
(
t
)
\phi_n(t)
ϕn(t)取决于时延和多普勒频移，所以一般假设这两个随机过程是相互独立的。
\quad
式(3)这一形式就类似等效基带输入信号与时变信道的等效基带冲激响应卷积，再上变频到载波频率上，即
r
(
t
)
=
R
e
{
[
∫
−
∞
∞
c
(
τ
,
t
)
u
(
t
−
τ
)
]
e
j
2
π
f
c
t
}
（
4
）
r(t) = \rm{Re} \left\{ \left[ \int_{-\infty}^{\infty} c(\tau,t)u(t-\tau) \right]e^{j2\pi f_c t} \right \}（4）
r(t)=Re{[∫−∞∞c(τ,t)u(t−τ)]ej2πfct}（4）
\quad
于是，结合式(3)和式(4)，可以得到在
(
t
−
τ
)
(t-\tau)
(t−τ)时刻发送的冲激在
t
t
t时刻的等效基带冲激响应即为
c
(
τ
,
t
)
=
∑
n
=
0
N
(
t
)
α
n
(
t
)
e
−
j
ϕ
n
(
t
)
δ
(
τ
−
τ
n
(
t
)
)
（
5
）
c(\tau,t) = \sum_{n=0}^{N(t)}\alpha_n(t) e^{-j\phi_n(t)}\delta(\tau-\tau_n(t))（5）
c(τ,t)=n=0∑N(t)αn(t)e−jϕn(t)δ(τ−τn(t))（5）
\quad
可将式(5)代入式(4)进行验证，得到式(3)【见文末的注】。对于有些模型假设多径时延是连续的，时变冲激响应即可简化为对应不同多径时延
τ
\tau
τ的时变复包络（没有冲激函数那一项），表示为
c
(
τ
,
t
)
=
∫
α
(
ξ
,
t
)
e
−
j
ϕ
(
ξ
,
t
)
δ
(
τ
−
ξ
)
d
ξ
=
α
(
τ
,
t
)
e
−
j
ϕ
(
τ
,
t
)
（
6
）
c(\tau,t) = \int \alpha(\xi,t)e^{-j\phi(\xi,t)} \delta(\tau-\xi)d\xi = \alpha(\tau,t)e^{-j\phi(\tau,t)} （6）
c(τ,t)=∫α(ξ,t)e−jϕ(ξ,t)δ(τ−ξ)dξ=α(τ,t)e−jϕ(τ,t)（6）
时变冲激响应
c
(
τ
,
t
)
c(\tau,t)
c(τ,t)深入理解
\quad
我们注意到，
c
(
τ
,
t
)
c(\tau,t)
c(τ,t)里有两个时间参数：
\quad
a.
t
t
t是接收端观察到脉冲响应的时刻
\quad
b.
(
t
−
τ
)
(t-\tau)
(t−τ)是向信道发射冲激脉冲的时刻
\quad
如果在时刻
t
t
t，信道中不存在时延为
τ
n
(
t
)
=
τ
\tau_n(t)=\tau
τn(t)=τ的反射体，那么
c
(
τ
,
t
)
=
0
c(\tau,t)=0
c(τ,t)=0。这种定义主要是为了与时不变信道这个特殊情形保持一致。时不变信道，即参数不会随着时间而改变，所以有
c
(
τ
,
t
)
=
c
(
τ
,
t
+
T
)
（
7
）
c(\tau,t)=c(\tau,t+T) （7）
c(τ,t)=c(τ,t+T)（7）
\quad
c
(
τ
,
t
)
c(\tau,t)
c(τ,t)是
(
t
−
τ
)
(t-\tau)
(t−τ)时刻发送的冲激在
t
t
t时刻的响应，等效于
(
t
+
T
−
τ
)
(t+T-\tau)
(t+T−τ)时刻发送的冲激在
(
t
+
T
)
(t+T)
(t+T)时刻的响应，也就是上式右侧的
c
(
τ
,
t
+
T
)
c(\tau,t+T)
c(τ,t+T)。当
T
=
−
t
T=-t
T=−t时，
c
(
τ
,
t
)
=
c
(
τ
,
0
)
=
c
(
τ
)
c(\tau,t)=c(\tau,0)=c(\tau)
c(τ,t)=c(τ,0)=c(τ)，这个
c
(
τ
)
c(\tau)
c(τ)就是标准的时不变信道的冲激响应，按定义应该是
−
τ
-\tau
−τ时刻发送的冲激在
0
0
0时刻的响应，但由于是时不变信道，因此等价于
0
0
0时刻发送的冲激在
τ
\tau
τ时刻的响应。
\quad
为了更方便理解，原文举了如下例子，假设每条径对应于一个单反射体。在时刻
t
1
t_1
t1，接收信号由三条径组成，其幅度、相位和时延表示为
(
α
i
,
ϕ
i
,
τ
i
)
,
i
=
1
,
2
,
3
(\alpha_i,\phi_i,\tau_i),i=1,2,3
(αi,ϕi,τi),i=1,2,3，如图3-2左图所示。在时刻
t
1
t_1
t1能同时收到
(
t
i
−
τ
i
)
(t_i-\tau_i)
(ti−τi)时刻发送的冲激，而收不到其他任何时刻发送的冲激(因为没有相应的时延路径)。因此，时刻
t
1
t_1
t1的时变冲激响应为
c
(
τ
,
t
1
)
=
∑
n
=
0
2
α
n
e
−
j
ϕ
n
δ
(
τ
−
τ
n
)
（
8
）
c(\tau,t_1) = \sum_{n=0}^{2} \alpha_n e^{-j\phi_n}\delta(\tau-\tau_n) （8）
c(τ,t1)=n=0∑2αne−jϕnδ(τ−τn)（8）
对于时刻
t
2
t_{2}
t2，接收信号包括两条径，其幅度、相位和时延表示为
(
α
i
′
,
ϕ
i
′
,
τ
i
′
)
,
i
=
1
,
2
(\alpha^{\prime}_{i},\phi^{\prime}_i,\tau^{\prime}_i),i=1,2
(αi′,ϕi′,τi′),i=1,2。那么，相应的时变冲激响应表达式为
c
(
τ
,
t
2
)
=
∑
n
=
0
1
α
n
′
e
−
j
ϕ
n
′
δ
(
τ
−
τ
n
′
)
（
9
）
c(\tau,t_2) = \sum_{n=0}^{1} \alpha^{\prime}_n e^{-j\phi^{\prime}_n}\delta(\tau-\tau^{\prime}_n) （9）
c(τ,t2)=n=0∑1αn′e−jϕn′δ(τ−τn′)（9）
下图3-3即是时变冲激响应的示意图。
可能大家会注意到，上面的
α
n
,
ϕ
n
,
τ
n
\alpha_{n},\phi_{n},\tau_{n}
αn,ϕn,τn均没有t参数，那么是因为前往呢已说明是在时刻
t
1
t_1
t1下的取值。当然，对于时不变信道来说，t是常量，所以离散多径时不变信道还可以像这样表示：
c
(
τ
)
=
∑
n
=
0
2
α
n
e
−
j
ϕ
n
δ
(
τ
−
τ
n
)
（
10
）
c(\tau) = \sum_{n=0}^{2} \alpha_{n} e^{-j\phi_{n}} \delta(\tau-\tau_n) （10）
c(τ)=n=0∑2αne−jϕnδ(τ−τn)（10）
而对于连续多径信道，
c
(
τ
)
=
α
(
τ
)
e
−
j
ϕ
(
τ
)
c(\tau) = \alpha(\tau) e^{-j\phi(\tau)}
c(τ)=α(τ)e−jϕ(τ)。
\quad
在基本概念中，我们说到窄带衰落就是信道时延扩展
T
m
T_m
Tm远远小于发送信号带宽的倒数
B
−
1
B^{-1}
B−1，而所有径的时延
τ
i
\tau_i
τi都是小于
T
m
T_m
Tm的（时延扩展是时延的最大值），因此所有径都近似有
u
(
t
−
τ
i
)
≈
u
(
t
)
u(t-\tau_i) \approx u(t)
u(t−τi)≈u(t)。这样式(3)中的等效基带信号一项可提取出来，改写为
r
(
t
)
=
R
e
{
[
∑
n
=
0
N
(
t
)
α
n
(
t
)
e
−
j
ϕ
n
(
t
)
]
u
(
t
)
e
j
2
π
f
c
t
}
（
11
）
r(t) = \rm{Re} \left\{ \left[ \sum_{n=0}^{N(t)}\alpha_n(t) e^{-j\phi_n(t)} \right] u(t)e^{j2\pi f_c t} \right \} （11）
r(t)=Re⎩
⎨
⎧⎣
⎡n=0∑N(t)αn(t)e−jϕn(t)⎦
⎤u(t)ej2πfct⎭
⎬
⎫（11）
\quad
上式表明，多径效应引起的影响，即中括号括起的复系数与发送信号
s
(
t
)
s(t)
s(t)和等效基带信号
u
(
t
)
u(t)
u(t)。为了继续深究该复系数，我们将
s
(
t
)
s(t)
s(t)换成相移为
ϕ
0
\phi_0
ϕ0的未调制载波：
s
(
t
)
=
R
e
{
e
j
(
2
π
f
c
t
+
ϕ
0
)
}
=
c
o
s
(
2
π
f
c
t
+
ϕ
0
)
（
12
）
s(t) = \rm{Re} \left \{ e^{j(2\pi f_c t + \phi_0)} \right\} = cos(2\pi f_c t +\phi_0) （12）
s(t)=Re{ej(2πfct+ϕ0)}=cos(2πfct+ϕ0)（12）
\quad
此时接收信号为
r
(
t
)
=
R
e
{
[
∑
n
=
0
N
(
t
)
α
n
(
t
)
e
−
j
ϕ
n
(
t
)
]
e
j
2
π
f
c
t
}
=
r
I
c
o
s
(
2
π
f
c
t
)
−
r
Q
s
i
n
(
2
π
f
c
t
)
（
13
）
r(t) = \rm{Re} \left\{ \left[ \sum_{n=0}^{N(t)}\alpha_n(t) e^{-j\phi_n(t)} \right] e^{j2\pi f_c t} \right \} = r_I cos(2\pi f_c t) - r_Q sin(2\pi f_c t) （13）
r(t)=Re⎩
⎨
⎧⎣
⎡n=0∑N(t)αn(t)e−jϕn(t)⎦
⎤ej2πfct⎭
⎬
⎫=rIcos(2πfct)−rQsin(2πfct)（13）
\quad
注意，这里的
ϕ
n
(
t
)
=
2
π
f
c
τ
n
(
t
)
−
ϕ
D
−
ϕ
0
\phi_n(t)=2\pi f_c \tau_n(t) - \phi_D-\phi_0
ϕn(t)=2πfcτn(t)−ϕD−ϕ0。其中，式(13)的同相分量和正交分量分别为
r
I
(
t
)
=
∑
n
=
0
N
(
t
)
α
n
(
t
)
c
o
s
ϕ
n
(
t
)
（
14
）
r
Q
(
t
)
=
∑
n
=
0
N
(
t
)
α
n
(
t
)
s
i
n
ϕ
n
(
t
)
（
15
）
\begin{aligned} & r_I(t) = \sum_{n=0}^{N(t)} \alpha_n(t) cos \phi_n(t) （14）\\ & r_Q(t) = \sum_{n=0}^{N(t)} \alpha_n(t) sin \phi_n(t)（15） \end{aligned}
rI(t)=n=0∑N(t)αn(t)cosϕn(t)（14）rQ(t)=n=0∑N(t)αn(t)sinϕn(t)（15）
\quad
当
N
(
t
)
N(t)
N(t)很大的时候，由中心极限定理及
α
n
(
t
)
\alpha_n(t)
αn(t)和
ϕ
n
(
t
)
\phi_n(t)
ϕn(t)相互独立可知，
r
I
(
t
)
r_I(t)
rI(t)和
r
Q
(
t
)
r_Q(t)
rQ(t)近似于联合高斯随机过程。当
α
n
(
t
)
\alpha_n(t)
αn(t)为瑞利分布，
ϕ
n
(
t
)
\phi_n(t)
ϕn(t)在
[
−
π
,
π
]
[-\pi,\pi]
[−π,π]内均匀分布，则N比较小时也可认为这两者是联合高斯随机过程。
注：
r
(
t
)
=
R
e
{
[
∫
−
∞
∞
c
(
τ
,
t
)
u
(
t
−
τ
)
d
τ
]
e
j
2
π
f
c
t
}
=
R
e
{
[
∫
−
∞
∞
∑
n
=
0
N
(
t
)
α
n
(
t
)
e
−
j
ϕ
n
(
t
)
δ
(
τ
−
τ
n
(
t
)
)
u
(
t
−
τ
)
d
τ
]
e
j
2
π
f
c
t
}
=
R
e
{
[
∑
n
=
0
N
(
t
)
α
n
(
t
)
e
−
j
ϕ
n
(
t
)
(
∫
−
∞
∞
δ
(
τ
−
τ
n
(
t
)
)
u
(
t
−
τ
)
d
τ
)
]
e
j
2
π
f
c
t
}
=
R
e
{
[
∑
n
=
0
N
(
t
)
α
n
(
t
)
e
−
j
ϕ
n
(
t
)
u
(
t
−
τ
n
(
t
)
)
]
e
j
2
π
f
c
t
}
\begin{aligned} r(t) &= \rm{Re} \left\{ \left[ \int_{-\infty}^{\infty} c(\tau,t)u(t-\tau)d\tau \right] e^{j2\pi f_{c}t} \right\} \\ &= \rm{Re} \left\{ \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=0}^{N(t)}\alpha_n(t) e^{-j\phi_n(t)}\delta(\tau-\tau_n(t))u(t-\tau)d\tau \right] e^{j2\pi f_{c}t} \right\} \\ &= \rm{Re} \left\{ \left[ \sum_{n=0}^{N(t)}\alpha_n(t) e^{-j\phi_n(t)} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau-\tau_n(t))u(t-\tau)d\tau \right) \right] e^{j2\pi f_{c}t} \right\} \\ &= \rm{Re} \left\{ \left[ \sum_{n=0}^{N(t)}\alpha_n(t) e^{-j\phi_n(t)}u(t-\tau_n(t)) \right]e^{j2\pi f_c t} \right \} \end{aligned}
r(t)=Re{[∫−∞∞c(τ,t)u(t−τ)dτ]ej2πfct}=Re⎩
⎨
⎧⎣
⎡∫−∞∞n=0∑N(t)αn(t)e−jϕn(t)δ(τ−τn(t))u(t−τ)dτ⎦
⎤ej2πfct⎭
⎬
⎫=Re⎩
⎨
⎧⎣
⎡n=0∑N(t)αn(t)e−jϕn(t)(∫−∞∞δ(τ−τn(t))u(t−τ)dτ)⎦
⎤ej2πfct⎭
⎬
⎫=Re⎩
⎨
⎧⎣
⎡n=0∑N(t)αn(t)e−jϕn(t)u(t−τn(t))⎦
⎤ej2πfct⎭
⎬
⎫
这里运用到了冲激函数的抽样性质：
∫
−
∞
∞
δ
(
τ
−
τ
n
(
t
)
)
u
(
t
−
τ
)
d
τ
=
δ
(
t
−
τ
n
(
t
)
)
∗
u
(
t
)
=
u
(
t
−
τ
n
(
t
)
)
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau-\tau_n(t))u(t-\tau)d\tau = \delta(t-\tau_n(t)) \ast u(t) = u(t-\tau_n(t))
∫−∞∞δ(τ−τn(t))u(t−τ)dτ=δ(t−τn(t))∗u(t)=u(t−τn(t))
参考文献
[美]A. Goldsmith. 无线通信[M]. 杨鸿文, 李卫东, 郭文彬. 北京: 人民邮电出版社, 2007.
