从信号传输的基本模型入手。考虑如下式所示的线性时不变系统，
y
(
t
)
=
h
(
t
)
∗
x
(
t
)
=
∫
h
(
τ
)
x
(
t
−
τ
)
d
τ
=
∫
h
(
t
−
τ
)
x
(
τ
)
d
τ
(
1
)
y(t) = h(t) * x(t) = \int h(\tau) x(t- \tau) d\tau = \int h(t-\tau) x(\tau) d\tau \quad \quad (1)
y(t)=h(t)∗x(t)=∫h(τ)x(t−τ)dτ=∫h(t−τ)x(τ)dτ(1)
其中，
x
(
t
)
x(t)
x(t) 表示输入信号，
h
(
t
)
h(t)
h(t)表示信道冲激响应，
y
(
t
)
y(t)
y(t)表示接收信号。则离散形式为
y
(
n
)
=
∑
l
=
0
L
−
1
h
(
l
)
x
(
n
−
l
)
(
2
)
y(n) = \sum_{l=0}^{L-1} h(l) x(n-l) \quad \quad (2)
y(n)=l=0∑L−1h(l)x(n−l)(2)
式（2）是多径信道下的信号传输模型。 L L L表示多径信道的阶数。
对于OFDM来说，发射信号
x
(
n
)
x(n)
x(n)由IFFT运算（有效信号）和添加循环前缀（CP）得到，其中有效信号可以表示为
x
(
n
)
=
1
N
∑
k
=
1
N
X
(
k
)
e
j
2
π
n
k
N
,
n
=
1
,
…
,
N
,
k
=
1
,
…
,
N
(
3
)
x(n) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=1}^{N} X(k) e^{j 2\pi \frac{nk}{N}}, n=1, \ldots, N, k = 1, \ldots, N \quad \quad (3)
x(n)=N
1k=1∑NX(k)ej2πNnk,n=1,…,N,k=1,…,N(3)
式中， X ( k ) X(k) X(k)为第 k k k个子载波上的发射信号， N N N为IFFT的点数（也是一个OFDM符号时域有效信号 x ( n ) x(n) x(n)的样点数目)。
对于单个OFDM符号，接收信号（2）的矩阵形式如下：
[
y
(
−
N
C
P
)
⋮
y
(
−
1
)
y
(
0
)
y
(
1
)
y
(
2
)
⋮
y
(
N
−
2
)
y
(
N
−
1
)
]
=
[
h
(
0
)
0
0
0
0
0
0
0
0
⋮
⋱
0
0
0
0
0
0
0
h
(
L
−
1
)
⋯
h
(
0
)
0
0
0
0
0
0
0
h
(
L
−
1
)
⋯
h
(
0
)
0
0
0
0
0
0
0
⋱
⋮
h
(
0
)
0
0
0
0
0
0
0
h
(
L
−
1
)
h
(
0
)
0
0
0
0
0
0
0
⋱
⋱
0
0
0
0
0
0
0
⋱
h
(
0
)
0
0
0
0
0
0
0
h
(
L
−
1
)
⋯
h
(
0
)
]
[
x
(
−
N
C
P
)
⋮
x
(
−
1
)
x
(
0
)
x
(
1
)
x
(
2
)
⋮
x
(
N
−
2
)
x
(
N
−
1
)
]
(
4
)
\begin{bmatrix} y(-N_{CP}) \\ \vdots \\ y(-1) \\ y(0) \\ y(1) \\ y(2) \\ \vdots \\ y(N-2) \\ y(N-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h(0)& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ h(L-1) & \cdots & h(0) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & h(L-1) & \cdots & h(0) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & h(0) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & h(L-1) & & h(0) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & & h(0) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & h(L-1) & \cdots & h(0) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(-N_{CP}) \\ \vdots \\ x(-1) \\ x(0) \\ x(1) \\ x(2) \\ \vdots \\ x(N-2) \\ x(N-1) \end{bmatrix} \quad \quad (4)
y(−NCP)⋮y(−1)y(0)y(1)y(2)⋮y(N−2)y(N−1)
=
h(0)⋮h(L−1)0000000⋱⋯h(L−1)0000000h(0)⋯⋱0000000h(0)⋮h(L−1)0000000h(0)⋱0000000h(0)⋱0000000⋱h(L−1)0000000h(0)⋯00000000h(0)
x(−NCP)⋮x(−1)x(0)x(1)x(2)⋮x(N−2)x(N−1)
(4)
式中， N C P N_{CP} NCP表示CP的长度。
CP的第一个作用：避免符号间干扰。 由于多径的作用，前一时刻的信号会对当前时刻的信号造成影响。因此，为了保证上一个OFDM不会对当前OFDM符号造成影响，CP的长度必须满足 N C P ≥ L − 1 N_{CP} \geq L-1 NCP≥L−1。在式（4）中， N C P = L N_{CP} = L NCP=L。
CP的第二个作用：消除子载波间干扰。 这一部分不容易直观理解，需要经过一部分推导。
为了说明这个问题，继续观察式（4）。从CP的定义出发，循环前缀指的是将发射信号的后面一部分信号复制，并添加到前面，即
x
(
−
1
)
=
x
(
N
−
1
)
,
…
,
x
(
−
N
C
P
)
=
x
(
N
−
N
C
P
)
x(-1) = x(N-1) , \ldots, x(-N_{CP}) = x(N-N_{CP})
x(−1)=x(N−1),…,x(−NCP)=x(N−NCP) 。在接收端去除CP，并利用这个性质，可以将式（4）表示为
[
y
(
0
)
y
(
1
)
y
(
2
)
⋮
y
(
N
−
2
)
y
(
N
−
1
)
]
=
[
0
h
(
L
−
1
)
⋯
h
(
0
)
0
0
0
0
0
0
0
⋱
⋮
h
(
0
)
0
0
0
0
0
0
0
h
(
L
−
1
)
h
(
0
)
0
0
0
0
0
0
0
⋱
⋱
0
0
0
0
0
0
0
⋱
h
(
0
)
0
0
0
0
0
0
0
h
(
L
−
1
)
⋯
h
(
0
)
]
[
x
(
−
N
C
P
)
⋮
x
(
−
1
)
x
(
0
)
x
(
1
)
x
(
2
)
⋮
x
(
N
−
2
)
x
(
N
−
1
)
]
(
5
)
\begin{bmatrix} y(0) \\ y(1) \\ y(2) \\ \vdots \\ y(N-2) \\ y(N-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & h(L-1) & \cdots & h(0) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & h(0) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & h(L-1) & & h(0) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & & h(0) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & h(L-1) & \cdots & h(0) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(-N_{CP}) \\ \vdots \\ x(-1) \\ x(0) \\ x(1) \\ x(2) \\ \vdots \\ x(N-2) \\ x(N-1) \end{bmatrix} \quad \quad (5)
y(0)y(1)y(2)⋮y(N−2)y(N−1)
=
000000h(L−1)00000⋯⋱0000h(0)⋮h(L−1)0000h(0)⋱0000h(0)⋱0000⋱h(L−1)0000h(0)⋯00000h(0)
x(−NCP)⋮x(−1)x(0)x(1)x(2)⋮x(N−2)x(N−1)
(5)
[
y
(
0
)
y
(
1
)
y
(
2
)
⋮
y
(
N
−
2
)
y
(
N
−
1
)
]
=
[
h
(
0
)
0
0
0
h
(
L
−
1
)
h
(
1
)
⋮
h
(
0
)
0
0
0
h
(
L
−
1
)
h
(
L
−
1
)
h
(
0
)
0
0
0
0
⋱
⋱
0
0
0
0
⋱
h
(
0
)
0
0
0
0
h
(
L
−
1
)
⋯
h
(
0
)
]
[
x
(
0
)
x
(
1
)
x
(
2
)
⋮
x
(
N
−
2
)
x
(
N
−
1
)
]
(
6
)
\begin{bmatrix} y(0) \\ y(1) \\ y(2) \\ \vdots \\ y(N-2) \\ y(N-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h(0) & 0 & 0 & 0 & h(L-1) & h(1) \\ \vdots & h(0) & 0 & 0 & 0 & h(L-1) \\ h(L-1) & & h(0) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & & h(0) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & h(L-1) & \cdots & h(0) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(0) \\ x(1) \\ x(2) \\ \vdots \\ x(N-2) \\ x(N-1) \end{bmatrix} \quad \quad (6)
y(0)y(1)y(2)⋮y(N−2)y(N−1)
=
h(0)⋮h(L−1)0000h(0)⋱0000h(0)⋱0000⋱h(L−1)h(L−1)000h(0)⋯h(1)h(L−1)000h(0)
x(0)x(1)x(2)⋮x(N−2)x(N−1)
(6)
也就是说，由于CP性质，可以将式（5）中信道矩阵的左上角元素，搬移到式（6）中信道矩阵的右上角，且完全不会改变等号的成立。即，CP-OFDM将线性卷积运算转换为了循环卷积运算。
将（6）写为矩阵形式，即
y
=
G
x
(
7
)
\mathbf{y} = \mathbf{G} \mathbf{x} \quad \quad (7)
y=Gx(7)
其中，
G
∈
C
N
×
N
\mathbf{G} \in \mathbb{C}^{N \times N}
G∈CN×N为时域信道矩阵。根据OFDM接收端的操作，需要对接收信号进行FFT运算，可以得到频域信号形式，即
r
=
F
y
=
F
G
F
H
s
(
8
)
\mathbf{r} = \mathbf{F} \mathbf{y} = \mathbf{F} \mathbf{G} \mathbf{F}^{H} \mathbf{s} \quad \quad (8)
r=Fy=FGFHs(8)
式中， F ∈ C N × N \mathbf{F} \in \mathbb{C}^{N \times N} F∈CN×N表示傅里叶矩阵， s = [ X ( 1 ) , … , X ( k ) , … , X ( N ) ] T ∈ C N × 1 \mathbf{s} = [X(1), \ldots, X(k), \ldots, X(N)]^{T} \in \mathbb{C}^{N \times 1} s=[X(1),…,X(k),…,X(N)]T∈CN×1表示频域发射信号（见式（3））。
注意： 式（7）中
G
\mathbf{G}
G是一个Toeplitz矩阵，具有循环移位特性，如下图所示。
定义
H
=
F
G
F
H
\mathbf{H} = \mathbf{F} \mathbf{G} \mathbf{F}^{H}
H=FGFH，利用 托普利兹矩阵_百度百科的性质，则
H
\mathbf{H}
H是一个对角矩阵，式（8）可以表示为
[
r
(
0
)
r
(
1
)
r
(
2
)
⋮
r
(
N
−
1
)
]
=
[
H
(
0
)
⋱
H
(
k
)
⋱
H
(
N
−
1
)
]
[
X
(
0
)
⋮
X
(
k
)
⋮
X
(
N
−
1
)
]
(
9
)
\begin{bmatrix} r(0) \\ r(1) \\ r(2) \\ \vdots \\ r(N-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} H(0) & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & H(k) & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & H(N-1) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X(0) \\ \vdots \\ X(k) \\ \vdots \\ X(N-1) \end{bmatrix} \quad \quad (9)
r(0)r(1)r(2)⋮r(N−1)
=
H(0)⋱H(k)⋱H(N−1)
X(0)⋮X(k)⋮X(N−1)
(9)
式中， H ( k ) H(k) H(k)表示 H \mathbf{H} H的第 k k k个对角线元素。从式（9）可以看到，每一个子载波的接收信号与发射信号一一对应，且其他子载波的信号对当前子载波完全没有影响。也就是说，子载波之间不会产生任何干扰，即消除了子载波间干扰。OFDM结合循环前缀，可以使信道均衡、信号解调等在频域并行处理，大大降低了系统复杂度。
此外，上面的过程解释了OFDM时域传输模型以及频域传输模型的等价关系。
现在还有一个问题，如何确定频域信道系数 H ( k ) H(k) H(k)与时域信道系数 h ( l ) h(l) h(l)之间的关系呢？
为了解决这个问题，考察特征值和特征向量。
根据
H
=
F
G
F
H
\mathbf{H} = \mathbf{F} \mathbf{G} \mathbf{F}^{H}
H=FGFH，可知
H
(
k
)
H(k)
H(k)是Toeplitz矩阵
G
\mathbf{G}
G的特征值，相应的特征向量为
F
H
\mathbf{F}^{H}
FH的第
k
k
k列。为什么呢？因为
F
H
H
=
G
F
H
\mathbf{F}^{H} \mathbf{H} = \mathbf{G} \mathbf{F}^{H}
FHH=GFH。
考虑矩阵两边的第
k
k
k个列向量，可得
G
f
k
=
H
(
k
)
f
k
\mathbf{G} \mathbf{f}_{k} = H(k) \mathbf{f}_{k}
Gfk=H(k)fk，其中
f
k
\mathbf{f}_{k}
fk是
F
H
\mathbf{F}^{H}
FH的第
k
k
k列，也就是
F
\mathbf{F}
F的第
k
k
k行。这与特征值和特征向量的表达式完全相同。基于以上讨论，我们下面来说明如何计算
H
(
k
)
H(k)
H(k)。
定义：
W
N
=
e
−
j
2
π
N
W_{N} = e^{-\frac{j 2\pi}{N}}
WN=e−Nj2π，以及
G
f
k
=
H
(
k
)
f
k
\mathbf{G} \mathbf{f}_{k} = H(k) \mathbf{f}_{k}
Gfk=H(k)fk的等价形式，即
1
N
[
p
0
p
1
p
2
⋯
p
N
−
1
p
N
−
1
p
0
p
1
⋯
p
N
−
2
p
N
−
2
p
N
−
1
p
0
⋯
p
N
−
3
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
p
1
p
2
p
3
⋯
p
0
]
[
W
N
0
W
N
−
k
W
N
−
2
k
⋮
W
N
−
(
N
−
1
)
k
]
=
1
N
H
(
k
)
[
W
N
0
W
N
−
k
W
N
−
2
k
⋮
W
N
−
(
N
−
1
)
k
]
(
10
)
\frac{1}{\sqrt{N}} \begin{bmatrix} p_{0} & p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{N-1} \\ p_{N-1} & p_{0} & p_{1} & \cdots & p_{N-2} \\ p_{N-2} & p_{N-1} & p_{0} & \cdots & p_{N-3} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ p_{1} & p_{2} & p_{3} & \cdots & p_{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} W_{N}^{0} \\ W_{N}^{-k} \\ W_{N}^{-2k} \\ \vdots \\ W_{N}^{-(N-1)k} \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{N}} H(k) \begin{bmatrix} W_{N}^{0} \\ W_{N}^{-k} \\ W_{N}^{-2k} \\ \vdots \\ W_{N}^{-(N-1)k} \end{bmatrix} \quad \quad \quad (10)
N
1
p0pN−1pN−2⋯p1p1p0pN−1⋯p2p2p1p0⋯p3⋯⋯⋯⋯⋯pN−1pN−2pN−3⋯p0
WN0WN−kWN−2k⋮WN−(N−1)k
=N
1H(k)
WN0WN−kWN−2k⋮WN−(N−1)k
(10)
为了计算
H
(
k
)
H(k)
H(k)的表达式，我们观察式（6）和（10）中的Toeplitz矩阵
G
\mathbf{G}
G和
P
\mathbf{P}
P，
有
P
m
,
n
=
p
(
n
−
m
)
mod
N
\mathbf{P}_{m,n} = p_{(n-m) \text{mod} N}
Pm,n=p(n−m)modN，
p
l
=
h
(
N
−
l
)
mod
N
p_{l} = h_{(N-l) \text{mod} N}
pl=h(N−l)modN，其中
m
,
n
,
l
=
0
,
1
,
2
,
…
,
N
−
1.
m,n,l = 0, 1, 2, \ldots, N-1.
m,n,l=0,1,2,…,N−1.。
因此，式（10）等号左边：矩阵
P
\mathbf{P}
P的第
(
m
+
1
)
(m+1)
(m+1)行与IDFT矩阵第
k
k
k列的内积有
1
N
∑
n
=
0
N
−
1
p
(
n
−
m
)
N
W
N
−
n
k
=
1
N
W
N
−
m
k
∑
n
=
0
N
−
1
p
(
n
−
m
)
N
W
N
−
(
n
−
m
)
N
k
=
1
N
W
N
−
m
k
∑
l
=
0
N
−
1
p
l
W
N
−
l
k
(
11
)
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} p_{(n-m)_N} W_{N}^{-nk} = \frac{1}{\sqrt{N}} W_{N}^{-mk} \sum_{n=0}^{N-1} p_{(n-m)_N} W_{N}^{-(n-m)_{N}k} = \frac{1}{\sqrt{N}} W_{N}^{-mk} \sum_{l=0}^{N-1} p_{l} W_{N}^{- l k} \quad \quad (11)
N
1n=0∑N−1p(n−m)NWN−nk=N
1WN−mkn=0∑N−1p(n−m)NWN−(n−m)Nk=N
1WN−mkl=0∑N−1plWN−lk(11)
式中，第1个等号利用了性质
W
N
−
(
n
−
m
)
k
=
W
N
−
(
n
−
m
)
N
k
W_{N}^{-(n-m)k} = W_{N}^{-(n-m)_{N} k}
WN−(n−m)k=WN−(n−m)Nk，（以
N
N
N为周期的周期性）。
为进一步计算式（11）的求和项，我们定义
H
k
=
∑
l
=
0
N
−
1
p
l
W
N
−
l
k
H_{k} = \sum_{l=0}^{N-1} p_{l} W_{N}^{- l k}
Hk=∑l=0N−1plWN−lk，即
H
k
=
∑
l
=
0
N
−
1
p
l
W
N
−
l
k
=
∑
l
=
0
N
−
1
h
(
N
−
l
)
N
W
N
−
l
k
=
∑
l
=
0
N
−
1
h
(
N
−
l
)
N
W
N
(
N
−
l
)
N
k
=
∑
l
′
=
0
N
−
1
h
l
′
W
N
l
′
k
(
12
)
H_{k} = \sum_{l=0}^{N-1} p_{l} W_{N}^{- l k} = \sum_{l=0}^{N-1} h_{(N-l)_{N}} W_{N}^{- l k} = \sum_{l=0}^{N-1} h_{(N-l)_{N}} W_{N}^{(N - l)_{N} k} = \sum_{l'=0}^{N-1} h_{l'} W_{N}^{l' k} \quad \quad (12)
Hk=l=0∑N−1plWN−lk=l=0∑N−1h(N−l)NWN−lk=l=0∑N−1h(N−l)NWN(N−l)Nk=l′=0∑N−1hl′WNl′k(12)
式中，第3个等号利用了性质
W
N
N
k
=
1
W_{N}^{N k} = 1
WNNk=1，
W
N
(
N
−
l
)
k
=
W
N
(
N
−
l
)
N
k
W_{N}^{(N - l) k} = W_{N}^{(N - l)_{N} k}
WN(N−l)k=WN(N−l)Nk。
可以看到，频域信道系数
H
k
H_{k}
Hk恰巧是时域信道系数
h
l
′
,
l
′
=
0
,
1
,
…
,
N
−
1
h_{l'}, l' = 0,1,\ldots,N-1
hl′,l′=0,1,…,N−1的傅里叶变换！
（注意
l
′
=
L
,
…
,
N
−
1
l' = L,\ldots, N-1
l′=L,…,N−1时
h
l
′
=
0
h_{l'} = 0
hl′=0），上式可以进一步表示为
H
k
=
∑
l
=
0
L
−
1
h
l
e
−
j
2
π
N
l
k
H_{k} = \sum_{l=0}^{L-1} h_{l} e^{-\frac{j 2\pi }{N}l k}
Hk=∑l=0L−1hle−Nj2πlk。
因此，我们可以得出公式（9）中，频域信道系数与时域信道系数之间的关系，以及验证了时域传输模型（6）和频域传输模型（9）之间的等价性。
参考资料：
CP是如何将多径信道的线性卷积变成循环卷积的？_张力_通信之美_新浪博客
https://blog.51cto.com/u_15127585/2669966
OFDM系统中的信道估计基础知识_逸凌Time的博客-CSDN博客_ofdm信道估计
给“小白”图示讲解OFDM的原理_码懂的博客-CSDN博客_ofdm小白
OFDM系统中的信道估计基础知识_逸凌Time的博客-CSDN博客_ofdm信道估计
