Fast planner 基本原理学习(一)

一、主题：Fast planner 基本原理学习

二、目标：

• 理解Fast planner轨迹规划处理流程
• 理解hybrid A*的改进点
• B样条曲线定义、性质、以及所带来的便利

三、正文：

1、Fast planner轨迹规划处理流程

主要思想：前端考虑动力学进行规划，后端轨迹优化利用B样条曲线的性质。

• 前端考虑动力学的作用：1、为了后端优化能得到效果更好的轨迹。2、利用Forward direction:discrete (sample) in control space可以很好的几何到A*算法中。
• 后端采用B样条曲线作轨迹规划，在位置上，可以利用几个控制点描述一条曲线，利用B样条曲线的性质，可以将对轨迹的约束、动力学的约束加在控制点上，从而简化了计算。处理顺序是：1、先通过esdf地图提供梯度场信息，设计惩罚函数，使轨迹向障碍物少的地方移动。然后轨迹几何位置不变。在进行时间重分配，使轨迹符合动力学约束（最大速度、最大加速度在允许范围内。）
• 备注：运动规划的轨迹是一条带时间参数的轨迹，同时需要符合避障、动力学的约束。一般工程上前端用来完成满足避障的几何路线。动力学的优化一般放在后端。

优点：
1、使轨迹向梯度场小的方向移动，设计出来的轨迹在障碍物中间，相较其他方法会更加安全。
2、利用了B样条曲线，带来了很大的便利，因为B样条曲线具有以下性质:

•   改变任意控制点，只改变有限时间段的轨迹。
  

•   Ｂ样条曲线的导数仍为Ｂ曲线。
  

缺点：

2、前端处理流程

3、Ｂ样条曲线

贝塞尔曲线（Bezier Curve）

1. 定义
   B ( t ) = ∑ i = 0 n − 1 R i , n ( t ) P i R i , n ( t ) = C n i t i ( 1 − t ) n − i t ∈ [ 0 , 1 ] \boldsymbol{B}(t)=\sum_{i=0}^{n-1} R_{i, n}(t) \boldsymbol{P}_{i} \quad R_{i, n}(t)=C_{n}^{i} t^{i}(1-t)^{n-i} t \in[0,1] B(t)=i=0∑n−1​Ri,n​(t)Pi​Ri,n​(t)=Cni​ti(1−t)n−it∈[0,1]
2. 性质

• 曲线的阶数随着控制点的增加而增加。
• 改变任意一点会影响到整段轨迹。

B样条曲线（Ｂ-Spline)

1. 定义
   C ( t ) = ∑ i = 0 n N i , p ( t ) Q i \mathbf{C}(t)=\sum_{i=0}^{n} N_{i, p}(t) \mathbf{Q}_{i} C(t)=i=0∑n​Ni,p​(t)Qi​
   

2. 性质

• 更改控制点(control point)只能影响有限的时间，如图，如果 Q 3 Q_{3} Q3​ 的点发生移动。只有在时间段u1～u5内， N 1 , 3 N_{1,3} N1,3​不为0。所以改变Q3的位置影响的时间段是有限的。
  

时间范围为什么两边缩小Pb的偏移，由下图可以很容易看出来。

• 一个时间段的轨迹由有限的点决定
  如图， [ u 3 , u 4 ) [u_{3},u_{4}) [u3​,u4​)的时间段只受到 Q 0 、 Q 1 、 Q 2 、 Q 3 Q_{0}、Q_{1}、Q_{2}、Q_{3} Q0​、Q1​、Q2​、Q3​控制点的作用。
  

• p>=1具有轨迹连续性质
  推到出C(t)的表达式易证。

• B样条的导数还是B样条

  • 1阶导
    C ( ˙ u ) = ∑ i = 0 n − 1 N i + 1 , p − 1 ( u ) V i \mathbf {C} \dot(u)=\sum_{i=0}^{n-1} N_{i+1, p-1}(u) \mathbf{V}_{i} C(˙​u)=i=0∑n−1​Ni+1,p−1​(u)Vi​
  • 2阶导
    C ( ¨ u ) = ∑ i = 0 n − 2 N i + 2 , p − 2 ( u ) A i \mathbf{C} \ddot(u)=\sum_{i=0}^{n-2} N_{i+2, p-2}(u) \mathbf{A}_{i} C(¨​u)=i=0∑n−2​Ni+2,p−2​(u)Ai​
  • 控制点的计算
    V i = p ( Q i + 1 − Q i ) u i + p + 1 − u i + 1 \mathbf{V}_{i}=\frac{p\left(\mathbf{Q}_{i+1}-\mathbf{Q}_{i}\right)}{u_{i+p+1}-u_{i+1}} Vi​=ui+p+1​−ui+1​p(Qi+1​−Qi​)​
    A i = ( p − 1 ) ( V i + 1 − V i ) u i + p + 1 − u i + 2 \mathbf{A}_{i}=\frac{(p-1)\left(\mathbf{V}_{i+1}-\mathbf{V}_{i}\right)}{u_{i+p+1}-u_{i+2}} Ai​=ui+p+1​−ui+2​(p−1)(Vi+1​−Vi​)​
  • 通过对高阶的轨迹表达式求导，可得到物理含义的速度、加速度等信息，且可是B样条曲线，方便利用B样条曲线的凸包性质。

• 凸包性质（Convex Hull Property）

  • 直观上看，如下图，最左边的橙色时间段段为控制点$Q_{0}、Q_{1}、Q_{2}、Q_{3}$控制，可见这段轨迹是在控制点的连线区域内的。时间段以此类推，都在其对应控制点连线的多边行区域内。因此容易将轨迹的障碍物的距离约束，速度、加速度约束，转化到对控制点的约束，从而简化计算。
    

• 时间均匀的B样条可以化成特殊的表达形式（Fast Planner中使用
  通式：
  

  当p = 3， m = 3:
  p ( s ( u ) ) = s ( u ) T M 4 q 3 s ( u ) = [ 1 s ( u ) s 2 ( u ) s 3 ( u ) ] T q 3 = [ Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 ] T s ( u ) = ( u − u 3 ) / Δ u \begin{aligned} \mathbf{p}(s(u)) &=\mathbf{s}(u)^{\mathrm{T}} \mathbf{M}_{4} \mathbf{q}_{3} \\ \mathbf{s}(u) &=\left[\begin{array}{llll} 1 & s(u) & s^{2}(u) & s^{3}(u) \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \\ \mathbf{q}_{3} &=\left[\begin{array}{llll} \mathbf{Q}_{0} & \mathbf{Q}_{1} & \mathbf{Q}_{2} & \mathbf{Q}_{3} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \\ s(u) &=\left(u-u_{3}\right) / \Delta u \end{aligned} p(s(u))s(u)q3​s(u)​=s(u)TM4​q3​=[1​s(u)​s2(u)​s3(u)​]T=[Q0​​Q1​​Q2​​Q3​​]T=(u−u3​)/Δu​
  推导：

  

N 0 , 3 ( t ) = 1 6 { t 3 t ∈ [ 0 , 1 ) t 2 ( 2 − t ) + t ( 3 − t ) ( t − 1 ) + ( 4 − t ) ( t − 1 ) 2 t ∈ [ 1 , 2 ) t ( 3 − t ) 2 + ( t − 1 ) ( 3 − t ) ( 4 − t ) + ( 4 − t ) 2 ( t − 2 ) t ∈ [ 2 , 3 ) ( 4 − t ) 3 t ∈ [ 3 , 4 ) N_{0,3}(t)=\frac{1}{6}\left\{\begin{array}{cl} t^{3} & t \in[0,1) \\ t^{2}(2-t)+t(3-t)(t-1)+(4-t)(t-1)^{2} & t \in[1,2) \\ t(3-t)^{2}+(t-1)(3-t)(4-t)+(4-t)^{2}(t-2) & t \in[2,3) \\ (4-t)^{3} & t \in[3,4) \end{array}\right. N0,3​(t)=61​⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​t3t2(2−t)+t(3−t)(t−1)+(4−t)(t−1)2t(3−t)2+(t−1)(3−t)(4−t)+(4−t)2(t−2)(4−t)3​t∈[0,1)t∈[1,2)t∈[2,3)t∈[3,4)​
N 1 , 3 ( t ) = 1 6 { ( t − 1 ） 3 t ∈ [ 1 , 2 ) （ t − 1 ） 2 ( 1 − t ) + （ t − 1 ） ( 2 − t ) ( t − 2 ) + ( 3 − t ) ( t − 2 ) 2 t ∈ [ 2 , 3 ) （ t − 1 ） ( 2 − t ) 2 + ( t − 2 ) ( 2 − t ) ( 3 − t ) + ( 3 − t ) 2 ( t − 3 ) t ∈ [ 3 , 4 ) ( 3 − t ) 3 t ∈ [ 4 , 5 ) . . . N_{1,3}(t)=\frac{1}{6}\left\{\begin{array}{cl} (t-1）^{3} & t \in[1,2) \\ （t-1）^{2}(1-t)+（t-1）(2-t)(t-2)+(3-t)(t-2)^{2} & t \in[2,3) \\ （t-1）(2-t)^{2}+(t-2)(2-t)(3-t)+(3-t)^{2}(t-3) & t \in[3,4) \\ (3-t)^{3} & t \in[4,5) \end{array}\right. \\... N1,3​(t)=61​⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​(t−1）3（t−1）2(1−t)+（t−1）(2−t)(t−2)+(3−t)(t−2)2（t−1）(2−t)2+(t−2)(2−t)(3−t)+(3−t)2(t−3)(3−t)3​t∈[1,2)t∈[2,3)t∈[3,4)t∈[4,5)​...
可计算 t ∈ [ u 3 , u 4 ) t \in[u_{3},u_{4}) t∈[u3​,u4​)段的轨迹：
推广到 t ∈ [ u m , u m + 1 ) t \in[u_{m},u_{m+1}) t∈[um​,um+1​)段的轨迹：
结论：由公式看出，只需要 Q m − 3 、 Q m − 2 、 Q m − 1 、 Q m Q_{m-3}、Q_{m-2}、Q_{m-1}、Q_{m} Qm−3​、Qm−2​、Qm−1​、Qm​的点，分配时间 Δ u \Delta u Δu，就可以确定` t ∈ [ u m , u m + 1 ) t \in[u_{m},u_{m+1}) t∈[um​,um+1​)段轨迹。

p ( s ( u ) ) = s ( u ) T M 4 q m s ( u ) = [ 1 s ( u ) s 2 ( u ) s 3 ( u ) ] T q m = [ Q m − 3 Q m − 2 Q m − 1 Q m ] T s ( u ) = ( u − u m ) / Δ u \begin{aligned} \mathbf{p}(s(u)) &=\mathbf{s}(u)^{\mathrm{T}} \mathbf{M}_{4} \mathbf{q}_{m} \\ \mathbf{s}(u) &=\left[\begin{array}{llll} 1 & s(u) & s^{2}(u) & s^{3}(u) \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \\ \mathbf{q}_{m} &=\left[\begin{array}{llll} \mathbf{Q}_{m-3} & \mathbf{Q}_{m-2} & \mathbf{Q}_{m-1} & \mathbf{Q}_{\mathrm{m}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} \\ s(u) &=\left(\begin{array}{llll} \left.u-u_{m}\right) / \Delta u \end{array}\right.\\ \end{aligned} p(s(u))s(u)qm​s(u)​=s(u)TM4​qm​=[1​s(u)​s2(u)​s3(u)​]T=[Qm−3​​Qm−2​​Qm−1​​Qm​​]T=(u−um​)/Δu​​
M 4 = 1 3 ! [ 1 4 0 0 − 3 0 3 0 3 − 6 3 0 − 1 3 − 3 1 ] \mathbf{M}_{4}=\frac{1}{3 !}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 3 & 0 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{array}\right] M4​=3!1​⎣⎢⎢⎡​1−33−1​40−63​033−3​0001​⎦⎥⎥⎤​

3. 理解：B样条曲线是贝塞尔曲线的一种特殊情况，规定了基函数的形式，使B样条有一些新的性质。由三个重要元素组成： degree（阶数）、control points（控制点）、knot vector（时间向量）。

4. 基函数计算
   N i , 0 ( u ) = { 1  if  u i ≤ u < u i + 1 0  otherwise  N i , p ( u ) = u − u i u i + p − u i N i , p − 1 ( u ) + u i + p + 1 − u u i + p + 1 − u i + 1 N i + 1 , p − 1 ( u ) u 代 表 时 间 变 量 \begin{array}{l} N_{i, 0}(u)=\left\{\begin{array}{lc} 1 & \text { if } u_{i} \leq u<u_{i+1} \\ 0 & \text { otherwise } \end{array}\right. \\ N_{i, p}(u)=\frac{u-u_{i}}{u_{i+p}-u_{i}} N_{i, p-1}(u)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}} N_{i+1, p-1}(u) \end{array} u代表时间变量 Ni,0​(u)={10​ if ui​≤u<ui+1​ otherwise ​Ni,p​(u)=ui+p​−ui​u−ui​​Ni,p−1​(u)+ui+p+1​−ui+1​ui+p+1​−u​Ni+1,p−1​(u)​u代表时间变量

• 不同阶的基函数间的计算关系
  

• 0阶
  

• 1阶
  

• 2阶
  

可以看出： 0阶时轨迹就是控制点。1阶时控制点连线的直线。2阶导时控制点有光滑曲线连接（轨迹连续可导）。

• 注意：Faster Planner选用了三阶基函数。通过各阶基函数的计算关系，很好推导B样条曲线的性质。

4、后端处理流程

1. 代价函数的设计

   • smoothness cost f s f_{s} fs​
     f s = ∑ i = p b − 1 N − p b + 1 ∥ ( Q i + 1 − Q i ) + ( Q i − 1 − Q i ) ∥ 2 f_{s}=\sum_{i=p_{b}-1}^{N-p_{b}+1}\left\|\left(\mathbf{Q}_{i+1}-\mathbf{Q}_{i}\right)+\left(\mathbf{Q}_{i-1}-\mathbf{Q}_{i}\right)\right\|^{2} fs​=i=pb​−1∑N−pb​+1​∥(Qi+1​−Qi​)+(Qi−1​−Qi​)∥2
     

   2. dynamic feasibility cost f v + f a f_{v}+f_{a} fv​+fa​
      设计惩罚函数
      
      

      注意：因为是软约束，所以后续需要进行时间调整

   3. collision cos f c f_{c} fc​

      f c = ∑ i = p b N − p b F c ( d ( Q i ) ) f_{c}=\sum_{i=p_{b}}^{N-p_{b}} F_{c}\left(d\left(\mathbf{Q}_{i}\right)\right) fc​=i=pb​∑N−pb​​Fc​(d(Qi​))
      可见，由B样条曲线的凸包性质，轨迹的约束都可以转化到控制点上，简化了计算。
      

2. 时间调整

参考：

《深蓝学院》移动机器人运动规划第8章