求解两个字符串的最长公共子序列

一，问题描述

给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB

则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA

二，算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

①最优子结构

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)

LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）

2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。

LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：

LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}

由于条件 1)  和  2)  考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。

②重叠子问题

重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后，  子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊？？？？

OK，来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1)    ❷LCS(Xn-1，Ym)    ❸LCS(Xn，Ym-1)

初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：

第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题❶LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？

因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)

也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。

由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。因为采用递归，它重复地求解了子问题啊。而且注意哦，所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。

这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。

那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？

呵呵哒。。。。

关键是采用动态规划时，并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。废话少说：举个例子吧！比如求Fib数列。关于Fib数列，可参考：

求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)时，又分解了一系列的小问题....

从图中可以看出：根的左右子树：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重叠的！！！比如，对于 fib(2)，它就一共出现了三次。如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP(Dynamic Programming)动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过”查表“直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))

说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧：）

c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。（是长度哦，就是一个整数嘛）。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int N = 1000;
 6 char a[N],b[N];
 7 int dp[N][N];
 8 int main()
 9 {
10     int lena,lenb,i,j;
11     while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)
12     {
13         memset(dp,0,sizeof(dp));
14         lena=strlen(a);
15         lenb=strlen(b);
16         for(i=1;i<=lena;i++)
17         {
18             for(j=1;j<=lenb;j++)
19             {
20                 if(a[i-1]==b[j-1])
21                 {
22                     dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
23                 }
24                 else
25                 {
26                     dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
27                 }
28             }
29         }
30         printf("%d\n",dp[lena][lenb]);
31     }
32     return 0;
33 }

继续补充一个，如果我们想输出这个序列怎么办呢？ 

简单来说就是理解dp含义就好了

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <stdlib.h>
 5 #include <string>
 6 #include <string.h>
 7 #include <set>
 8 #include <queue>
 9 #include <math.h>
10 #include <stdbool.h>
11 
12 #define ll long long
13 #define inf 0x3f3f3f3f
14 using namespace std;
15 const int MAXN = 1005;
16 const int N = 1005;
17 char a[N],b[N];
18 int dp[N][N];
19 int main()
20 {
21     int lena,lenb,i,j;
22     scanf("%s%s",a,b);
23     memset(dp,0,sizeof(dp));
24     lena = strlen(a);
25     lenb = strlen(b);
26     for(i=1;i<=lena;i++)
27     {
28         for(j=1;j<=lenb;j++)
29         {
30             if(a[i-1]==b[j-1])
31             {
32                 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
33             }
34             else{
35                 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
36             }
37         }
38     }
39     int k=0;
40     char ans[1005];
41     int p = lena-1;
42     int q = lenb-1;
43     while (p>=0 && q>=0)
44     {
45         if (dp[p][q] + 1 == dp[p + 1][q + 1] && a[p] == b[q]) {
46             ans[k++] = a[p];
47             p--;
48             q--;
49         } else if (dp[p][q + 1] > dp[p + 1][q]) 
                //可以理解第二个字符串往后走一个比一个字符串往后走一个更大 ，那么q+1位置是最大的，所以不能移动它要移动p
50             p--;
51         else // 同理
52             q--;
53     }
54     for (i=k-1;i>=0;i--)
55     {
56         printf("%c",ans[i]);
57     }
58     printf("\n");
59     return 0;
60 }

优化版本 nlogn

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#include <queue>
#include <math.h>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
#include <time.h>
#include <bitset>
#include <cmath>

#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ls nod<<1
#define rs (nod<<1)+1

const double eps = 1e-10;
const int maxn = 1e5 + 10;
const LL mod = 1e9 + 7;

int sgn(double a){return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;}
using namespace std;

int a[100001],b[100001],mp[100001],f[100001];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);mp[a[i]]=i;}
    for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&b[i]);f[i]=0x7fffffff;}
    int len=0;
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int l=0,r=len,mid;
        if(mp[b[i]]>f[len])f[++len]=mp[b[i]];
        else
        {
            int ans = 0;
            while(l<=r)
            {
                mid=(l+r)/2;
                if(f[mid]>mp[b[i]]) {
                    ans = mid;
                    r=mid-1;
                }
                else l=mid+1;
            }
            f[l]=min(mp[b[i]],f[ans]);
        }
    }
    cout<<len;
    return 0;
}

 摘自 https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5572483.html