理论 - 半波偶极子天线原理与计算

概述

半波偶极子天线是一种结构简单的基本线天线，也是一种经典的、迄今为止使用最广泛的天线之一。半波偶极子天线由两根直径和长度都相等的直导线组成，每根导线的长度为1/4个工作波长。导线的直径远小于工作波长，在中间的两个端点上由等幅反相的电压激励，中间端点之间的距离远小于工作波长，可以忽略不计。

1、电流分布

对于从中心馈电的偶极子天线，其两端为开路，故电流为零。工程上通常将其电流分布近似为正弦分布。假设将偶极子天线沿z轴方向放置，其中心位于坐标原点，如图所示

长度为 l l l的偶极子天线的电流分布可以表示为 I ( z ) = I 0 sin ⁡ k ( l − ∣ z ∣ ) − l ⩽ z ⩽ l I(z)=I_{0} \sin k(l-|z|) \quad-l \leqslant z \leqslant l I(z)=I0​sink(l−∣z∣)−l⩽z⩽l式中， I 0 I_{0} I0​是波腹电流; k k k是波数，且 k = 2 π / λ k=2π/λ k=2π/λ; l l l是偶极子天线的长度。对于半波偶极子天线而言，其长度 l = λ / 4 l=λ/4 l=λ/4。把上述参数代入到上式中，则半波偶极子天线的电流分布可以改写为: I ( z ) = I 0 sin ⁡ ( π 2 − k z ) = I 0 cos ⁡ ( k z ) I(z)=I_{0} \sin \left(\frac{\pi}{2}-k z\right)=I_{0} \cos (k z) I(z)=I0​sin(2π​−kz)=I0​cos(kz)

2、辐射场和方向图

已知半波偶极子天线上的电流分布，可利用叠加原理来计算半波偶极子天线的辐射场。半波偶极子天线可以看成是由长度为dz的电基本振子天线连接而成的，dz 这一小段天线上的电流等幅同相，但沿着Z轴的电流幅度是按 I ( z ) = I 0 cos ⁡ ( k z ) I(z)=I_{0} \cos (k z) I(z)=I0​cos(kz)分布的。电基本振子的远区辐射场为 E θ = j I d l 2 λ r μ 0 ε 0 sin ⁡ θ e − j k r E_{\theta}=\mathrm{j} \frac{I d l}{2 \lambda r} \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}} \sin \theta \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k r} Eθ​=j2λrIdl​ε0​μ0​​ ​sinθe−jkr对此进行积分得半波偶极子天线的辐射场为 E θ = j d l 2 λ r μ 0 ε 0 sin ⁡ θ e − j k r [ ∫ − λ / 4 λ / 4 I 0 cos ⁡ ( k z ) d z ] E_{\theta}=\mathrm{j} \frac{d l}{2 \lambda r} \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}} \sin \theta \mathrm{e}^{-\mathrm{jkr}}\left[\int_{-\lambda / 4}^{\lambda / 4} I_{0} \cos (k z) \mathrm{d} z\right] Eθ​=j2λrdl​ε0​μ0​​ ​sinθe−jkr[∫−λ/4λ/4​I0​cos(kz)dz]整理可得 E θ = j 60 I 0 r cos ⁡ ( π 2 cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ e − j k r = j 60 I 0 r f ( θ , φ ) E_{\theta}=\mathrm{j} \frac{60 I_{0}}{r} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin \theta} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k r}=\mathrm{j} \frac{60 I_{0}}{r} f(\theta, \varphi) Eθ​=jr60I0​​sinθcos(2π​cosθ)​e−jkr=jr60I0​​f(θ,φ)其中 f ( θ , φ ) = f ( θ ) = cos ⁡ ( π 2 cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ f(\theta, \varphi)=f(\theta)=\frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin \theta} f(θ,φ)=f(θ)=sinθcos(2π​cosθ)​称为半波偶极子天线的方向性函数。
在电基本振子得辐射场中，电场分量 E θ E_{\theta} Eθ​和磁场分量 H φ H_{\varphi} Hφ​的比值为常数，将其称为波阻抗。对于自由空间而言，媒质的波阻抗为 η 0 = E θ H φ = μ 0 ε 0 = 120 π Ω \eta_{0}=\frac{E_{\theta}}{H_{\varphi}}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}=120 \pi \Omega η0​=Hφ​Eθ​​=ε0​μ0​​ ​=120πΩ故可求得半波偶极子天线的磁场为 H = 1 η 0 e ^ r × E = j I 0 2 π r cos ⁡ ( π 2 cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ e − j k r e ^ φ \boldsymbol{H}=\frac{1}{\eta_{0}} \widehat{\boldsymbol{e}}_{r} \times \boldsymbol{E}=\mathrm{j} \frac{I_{0}}{2 \pi r} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin \theta} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k r} \widehat{\boldsymbol{e}}_{\varphi} H=η0​1​e r​×E=j2πrI0​​sinθcos(2π​cosθ)​e−jkre φ​
根据方向性函数可绘出半波偶极子天线的归一化场强方向图，在 H H H平面（ θ = 90 ° \theta=90° θ=90°）极坐标方向图是一个圆。在 E E E平面（ φ \varphi φ为常数）中，辐射场强会随着角度 θ \theta θ的变化而变化， θ = ± 9 0 ∘ \theta=\pm 90^{\circ} θ=±90∘方向上场强最大， θ = 0 ∘ \theta=0^{\circ} θ=0∘和 θ = 18 0 ∘ \theta=180^{\circ} θ=180∘方向上场强为零。

3、方向性系数

天线的方向性系数 D D D是指在远区场的某一球面上天线的辐射强度与平均辐射强度之比 D ( θ , φ ) = U ( θ , φ ) U 0 D(\theta, \varphi)=\frac{U(\theta, \varphi)}{U_{0}} D(θ,φ)=U0​U(θ,φ)​式中，平均辐射强度 U U U。实际上是辐射功率除以球面积，即: U 0 = 1 4 π ∫ 0 2 π ∫ 0 π U ( θ , φ ) sin ⁡ θ d θ d φ U_{0}=\frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} U(\theta, \varphi) \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi U0​=4π1​∫02π​∫0π​U(θ,φ)sinθdθdφ通常所说的方向性系数指的都是在最大辐射方向上的方向性系数，即: D = U max ⁡ U 0 D=\frac{U_{\max }}{U_{0}} D=U0​Umax​​代入方向性函数可计算出半波偶极子天线的功率方向性系数为 D = 1 1 4 π ∫ 0 2 π ∫ 0 π cos ⁡ 2 θ ( π 2 cos ⁡ θ ) sin ⁡ 2 θ sin ⁡ θ d θ d φ = 1.64 D=\frac{1}{\frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\cos ^{2} \theta\left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin ^{2} \theta} \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi}=1.64 D=4π1​∫02π​∫0π​sin2θcos2θ(2π​cosθ)​sinθdθdφ1​=1.64即 D d B = 10 lg ⁡ ( 1.64 ) = 2.15   d B D_{\mathrm{dB}}=10 \lg (1.64)=2.15 \mathrm{~dB} DdB​=10lg(1.64)=2.15 dB

4、辐射电阻

天线的平均功率密度可以用平均坡印廷矢量来表示，即: S a v = 1 2 ( E × H ∗ ) \boldsymbol{S}_{a v}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}^{*}\right) Sav​=21​(E×H∗)把半波偶极子天线的辐射电场和辐射磁场代入式，可得 S a v = 15 I 0 2 π r 2 cos ⁡ 2 ( π 2 cos ⁡ θ ) sin ⁡ 2 θ \boldsymbol{S}_{a v}=\frac{15 I_{0}^{2}}{\pi r^{2}} \frac{\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin ^{2} \theta} Sav​=πr215I02​​sin2θcos2(2π​cosθ)​半波偶极子天线的辐射功率则为: S r = ∫ s S a v   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 15 I 0 2 π r 2 cos ⁡ 2 θ ( π 2 cos ⁡ θ ) sin ⁡ 2 θ r 2 sin ⁡ θ d θ d φ = 36.6 I 0 2 S_{r}=\int_{s} \boldsymbol{S}_{a v} \mathrm{~d} S=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \frac{15 I_{0}^{2}}{\pi r^{2}} \frac{\cos ^{2} \theta\left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin ^{2} \theta} r^{2} \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi=36.6 I_{0}^{2} Sr​=∫s​Sav​ dS=∫02π​∫0π​πr215I02​​sin2θcos2θ(2π​cosθ)​r2sinθdθdφ=36.6I02​这里使用R,来表示辐射电阻，有: P r = 36.6 I 0 2 = 1 2 I 0 2 R r P_{r}=36.6 I_{0}^{2}=\frac{1}{2} I_{0}^{2} R_{r} Pr​=36.6I02​=21​I02​Rr​ 可以计算出半波偶极子天线的辐射电阻为: R r = 73.2 Ω R_{r}=73.2 \Omega Rr​=73.2Ω

5、输入阻抗

根据基本的传输线理论，输入阻抗一般同时包含实部和虚部两部分，即为: Z i n = R i n + j X i n Z_{\mathrm{in}}=R_{\mathrm{in}}+\mathrm{j} X_{\mathrm{in}} Zin​=Rin​+jXin​其中，实部电阻 R in R_{\text{in}} Rin​包含辐射电阻 R r R_{\text{r}} Rr​,和导体损耗所产生的导体电阻 R σ R_{\sigma} Rσ​。对于良导体而言，导体电阻可以忽略，此时实部电阻仅包含辐射电阻，即为: R in  ≈ R r R_{\text {in }} \approx R_{r} Rin ​≈Rr​由理论分析可知，偶极子天线在天线长度 2 l 2l 2l约为 λ / 2 λ/2 λ/2时，虚部电抗 X i n = 0 X_{\mathrm{in}}=0 Xin​=0。若采用更精确的场论分析，当 2 l = 0.48 λ 2l=0.48λ 2l=0.48λ时， X i n = 0 X_{\mathrm{in}}=0 Xin​=0。综合以上的分析，对于半波偶极子天线而言，输入阻抗可以近似为: Z i n ≈ R r = 73.2 Ω Z_{\mathrm{in}} \approx R_{r}=73.2 \Omega Zin​≈Rr​=73.2Ω可见，半波偶极子天线的输入阻抗是纯电阻，易于和馈线匹配，这也是它被较多采用的原因之一。