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Lipschitz常数、Lipschitz条件

2023-10-27

参考：
https://www.zybang.com/question/dd732fbc5a0224c6526bcdfba613b53c.html
https://baike.baidu.com/item/lipschitz%E6%9D%A1%E4%BB%B6/3601603
http://www.baike.com/wiki/lipschitz%E6%9D%A1%E4%BB%B6

Lipschitz常数

对于函数 y=f（x）在定义域为D上，如果存在 L ∈R ,且L>0，对任意 x1,x2 ∈D，有：
|f(x1)-f(x2)|≤ L|x1-x2|；
则称 L 为 f(x) 在D上的Lipschitz常数。
从这里可以看出，Lipschitz常数并不是固定不变的，而是依据具体的函数而定。
如果 y = f（x）在定义域D 上可导,那么L就可以取 f’(x) 的一个上界：
|f(x1)-f(x2)|=|f’(ξ)(x1-x2)| ≤ L|x1-x2|
疑问：好像该常数的求解与Jacobi矩阵（雅克比矩阵）有关。
如：http://muchong.com/html/201405/7381320.html
另外，函数导数有下界，其最小下界称为Lipschitz常数。
在大规模问题中，Lipschitz常数非常难以计算，所以使用带回溯的FISTA，回溯仅仅是因为Lipschitz常数难以计算。

Lipschitz条件

Lipschitz条件，即利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）。其定义为：对于函数f(x),若其任意定义域中的x1,x2，都存在L>0，使得|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|。
大白话就是：存在一个实数L，使得对于函数f（x）上的每对点，连接它们的线的斜率的绝对值不大于这个实数L。最小的L称为该函数的Lipschitz常数。
在微分方程理论中，Lipschitz连续性是Picard-Lindelöf定理的核心条件，它保证了初值问题解的存在性和唯一性。Lipschitz连续条件（Lipschitz continuity）是一个比一致连续更强的光滑性条件。直观上，Lipschitz连续函数限制了函数改变的速度。符合Lipschitz条件的函数，其斜率必小于一个称为Lipschitz常数的实数。
举个例子：f(x) = |x|，K=1；符合利普希茨（Lipschitz ）条件。因为f(x)在x=0处是不可微的，由此可见符合Lipschitz 条件的函数未必处处可微。

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数学

Lipschitz常数

Lipschitz条件

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