基础解系的概念是针对方程而言的；齐次线性方程组的解集的最大无关组称为齐次线性方程的基础解系；要求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系。
【例】
特征向量和特征值满足关系式 A α = λ α A\alpha =\lambda \alpha Aα=λα；特征向量是相对于矩阵（方阵）而言的，一个方程组可以提取它的系数产生出一个矩阵，于是求解特征向量与求解系数矩阵非常类似。
【2019年数二】已知A，B相似，求可逆矩阵P，使得
P
−
1
A
P
=
B
P^{-1}AP=B
P−1AP=B
A
=
[
−
2
−
2
1
2
3
−
2
0
0
−
2
]
A=\begin{bmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2\\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}
A=⎣⎡−220−2301−2−2⎦⎤
B = [ 2 1 0 0 − 1 0 0 0 − 2 ] B=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} B=⎣⎡2001−1000−2⎦⎤
【分析】A，B相似，特征值相同，求得
λ
1
=
−
2
\lambda _{1}=-2
λ1=−2，
λ
2
=
−
1
\lambda _{2}=-1
λ2=−1，
λ
3
=
2
\lambda _{3}=2
λ3=2
(
特
征
值
的
求
解
过
程
省
略
，
非
本
文
章
讲
解
的
重
点
)
{\color{Orange} (特征值的求解过程省略，非本文章讲解的重点) }
(特征值的求解过程省略，非本文章讲解的重点)
注：其实这里只需求出基础解系就好，这个基础解系就是属于特征值 λ 1 = − 2 \lambda _{1}=-2 λ1=−2的一个特征向量，顺带写出了特征值 λ 1 = − 2 \lambda _{1}=-2 λ1=−2的全部特征向量，即 k 1 ξ 1 k_{1}\xi _{1} k1ξ1；
另外，在化行最简的时候，书上面一般是从往左上角爬楼梯的行最简，有时候也可以化为往右上角爬楼梯的行最简（姑且称为「左撇子行最简」），同样也方便得到基础解系；
注：在化行最简时，可以直接将一行写为0，因为我们是通过 ∣ λ E − A ∣ \left | \lambda E-A \right | ∣λE−A∣求得的 λ \lambda λ，再将 λ \lambda λ带入之后得到的矩阵必然是不可逆矩阵，里面的行线性相关，即就是对应的方程组中存在多余方程，因此选数字复杂的行直接写为0，可以简化计算过程，下同
熟悉以上过程后，先将矩阵化为行最简，然后直接将行最简不是1的那一列对应的未知数令为1，得到其余的未知数的值，进而写出对应的基础解系；这也是多数题目的参考答案给出的简化后的写法，很多学生一开始看不懂。
同理，分别计算矩阵B的特征值
λ
1
=
−
2
\lambda _{1}=-2
λ1=−2，
λ
2
=
−
1
\lambda _{2}=-1
λ2=−1，
λ
3
=
2
\lambda _{3}=2
λ3=2 对应的特征方程的基础解系：
由于A、B相似，于是有：
这里P可逆，为题目所求的可逆矩阵，且
P
−
1
A
P
=
B
P^{-1}AP=B
P−1AP=B
求可逆矩阵可参考链接: 线代——求逆矩阵的快捷方法
