JavaScript 算法系列---动态规划

很久之前接触过这样一道题目，总共有十层阶梯，从1层开始往上爬，每次可以上1层或者2层，问到10层总共有多少种方法?

思路：这个问题就是动态规划的一个经典例子，所谓动态规划，就是把复杂的问题进行拆解，拆解成一个个子问题，而这类问题最后非常适合使用递归来解决。诸如这道题目，可以记到某层阶梯的走法为F(n)，那么到10层阶梯就是F(10)。 那么F(10)等于什么呢，这里进行假设，如果只差最后一次就可以走到10层，那么此时有几种情况呢？

1. 在9层，往上走1步即可。
2. 在8层，往上走2步即可。

那么此时可以得出F(10)=F(9)+F(8); — 最优子结构

其实这里就可以得出F(n)=F(n-1) + F(n-2) — 状态转移方程

而当n=2时，也就是走上2层，马上可以知道只有2种方法（0->2,0->1->2）
也就是F(2)=2，同理F(1)=1. — 边界情况

写成代码也很容易，这里就不写了。

然后这次还遇到了一个类似的题目，源自力扣
链接
其实大致的思路还是一样的，只是增加了对二维数组中，某一个数字的判断逻辑，刚刚开始我是这样做的

/**
 * @param {number[][]} obstacleGrid
 * @return {number}
 */
var uniquePathsWithObstacles = function(obstacleGrid) {
    // 坐标轴向下为x轴，向右为y轴
    // obstacleGrid的数组长度为n,表示矩阵高度
    // 其中每个元素的长度都是m，表示矩阵宽度

    var map = new Map();
    
    var F = function (x,y){
        // x，y 分别为网格的纵坐标.横坐标
        /* 0=<x<=n-1 */
        /* 0=<y<=m-1 */

        if (x ===0 && y === 0) {
            return obstacleGrid[x][y]==0 ? 1:0;
        }

         if (obstacleGrid[x][y] === 1){
            return 0;
        } else {
            if (x === 0) {
                return F(x,y-1);
            } else if (y === 0) {
                return F(x-1,y);
            } else {
                return F(x-1,y) + F(x,y-1);
            }
        }
    }

    return F(obstacleGrid.length - 1,obstacleGrid[0].length - 1);
};

但是某一个测试用例却显示超时了，所以这里得做一些额外的处理，我的思路是对某些计算的结果做一下缓存，每一次执行F(n)时先去Map里面取，如果取不到再进行递归运算，并缓存下来。改动后的代码如下

/**
 * @param {number[][]} obstacleGrid
 * @return {number}
 */


var uniquePathsWithObstacles = function(obstacleGrid) {
    // 坐标轴向下为x轴，向右为y轴
    // obstacleGrid的数组长度为n,表示矩阵高度
    // 其中每个元素的长度都是m，表示矩阵宽度

    var map = new Map();

    var cacheCalc = function (x,y) {
        if (map.has([x,y].join(','))) return map.get([x,y].join(','));
        else {
            var cacheValue = F(x,y);
            map.set([x,y].join(','),cacheValue);
            return cacheValue;
        }
    }

    var F = function (x,y){
        // x，y 分别为网格的纵坐标.横坐标
        /* 0=<x<=n-1 */
        /* 0=<y<=m-1 */

        if (x ===0 && y === 0) {
            return obstacleGrid[x][y]==0 ? 1:0;
        }

         if (obstacleGrid[x][y] === 1){
            return 0;
        } else {
            if (x === 0) {
                return cacheCalc(x,y-1);
            } else if (y === 0) {
                return cacheCalc(x-1,y);
            } else {
                return cacheCalc(x-1,y) + cacheCalc(x,y-1);
            }
        }
    }

    return F(obstacleGrid.length - 1,obstacleGrid[0].length - 1);
};