1 验证SO(3)、SE(3) 和Sim(3) 关于乘法成群
证明：
先看SO(3). 定义为：
SO(3)={R∈R3×3|RR⊤=I,det(R)=1}
S
O
(
3
)
=
{
R
∈
R
3
×
3
|
R
R
⊤
=
I
,
det
(
R
)
=
1
}
-
假设
R1,R2∈SO(3)
R
1
,
R
2
∈
S
O
(
3
)
, 先证明
R1∗R2∈SO(3)
R
1
∗
R
2
∈
S
O
(
3
)
:
R1∗R2∗(R1∗R2)⊤=R1∗R2R⊤2∗R⊤1=I
R
1
∗
R
2
∗
(
R
1
∗
R
2
)
⊤
=
R
1
∗
R
2
R
2
⊤
∗
R
1
⊤
=
I
再证其行列式为1:
det(R1∗R2)=det(R1)⋅det(R2)=1
det
(
R
1
∗
R
2
)
=
det
(
R
1
)
⋅
det
(
R
2
)
=
1
所以
R1,R2∈SO(3)⇒R1∗R2∈SO(3)
R
1
,
R
2
∈
S
O
(
3
)
⇒
R
1
∗
R
2
∈
S
O
(
3
)
.
-
根据矩阵乘法，显然：
(R1∗R2)∗R3=R1∗(R2∗R3)
(
R
1
∗
R
2
)
∗
R
3
=
R
1
∗
(
R
2
∗
R
3
)
-
存在
I0∈R3×3
I
0
∈
R
3
×
3
(单位矩阵), 使得:
I0∗R=R∗I0=R
I
0
∗
R
=
R
∗
I
0
=
R
所以玄元为
I0
I
0
.
-
根据定义
RR⊤=I
R
R
⊤
=
I
, 所以逆为
R−1=R⊤∈SO(3)
R
−
1
=
R
⊤
∈
S
O
(
3
)
SE(3)的定义为：
SE(3)={T=[R0⃗ t⃗ 1]∈R4×4|R∈SO(3),t⃗ ∈R3}
S
E
(
3
)
=
{
T
=
[
R
t
→
0
→
1
]
∈
R
4
×
4
|
R
∈
S
O
(
3
)
,
t
→
∈
R
3
}
- 假设
T1,T2∈SE(3)
T
1
,
T
2
∈
S
E
(
3
)
, 证明
T1∗T2∈SE(3)
T
1
∗
T
2
∈
S
E
(
3
)
:
T1∗T2=[R10⃗ t⃗ 11]∗[R20⃗ t⃗ 21]=[R1∗R20⃗ R1t⃗ 2+t⃗ 11]
T
1
∗
T
2
=
[
R
1
t
→
1
0
→
1
]
∗
[
R
2
t
→
2
0
→
1
]
=
[
R
1
∗
R
2
R
1
t
→
2
+
t
→
1
0
→
1
]
上述式子中，
R1,R2∈SO(3)
R
1
,
R
2
∈
S
O
(
3
)
,
R1∗R2∈SO(3)
R
1
∗
R
2
∈
S
O
(
3
)
已获得证明；
R1t⃗ 2+t⃗ 1∈R3
R
1
t
→
2
+
t
→
1
∈
R
3
.
满足SE(3)的定义。
2 验证
(R3,R,×)
(
R
3
,
R
,
×
)
构成李代数
前面文章已证。
3 **验证
so(3)
s
o
(
3
)
和
se(3)
s
e
(
3
)
满足李代数要求的性质
so(3)
s
o
(
3
)
已在前面文章中证明。下面只证明
se(3)
s
e
(
3
)
**.
4 证明式(4.20)与(4.21).
- 证明式(4.20) ：
a⃗ ∧=⎛⎝⎜0a3−a2−a30a1a2−a10⎞⎠⎟
a
→
∧
=
(
0
−
a
3
a
2
a
3
0
−
a
1
−
a
2
a
1
0
)
所以，
a⃗ ∧a⃗ ∧=⎛⎝⎜−a22−a32a1a2a1a3a1a2−a12−a32a2a3a1a3a2a3−a12−a22⎞⎠⎟
a
→
∧
a
→
∧
=
(
−
a
2
2
−
a
3
2
a
1
a
2
a
1
a
3
a
1
a
2
−
a
1
2
−
a
3
2
a
2
a
3
a
1
a
3
a
2
a
3
−
a
1
2
−
a
2
2
)
另外，
a⃗ a⃗ ⊤−I=⎛⎝⎜a1conj(a1)−1a2conj(a1)a3conj(a1)a1conj(a2)a2conj(a2)−1a3conj(a2)a1conj(a3)a2conj(a3)a3conj(a3)−1⎞⎠⎟
a
→
a
→
⊤
−
I
=
(
a
1
c
o
n
j
(
a
1
)
−
1
a
1
c
o
n
j
(
a
2
)
a
1
c
o
n
j
(
a
3
)
a
2
c
o
n
j
(
a
1
)
a
2
c
o
n
j
(
a
2
)
−
1
a
2
c
o
n
j
(
a
3
)
a
3
c
o
n
j
(
a
1
)
a
3
c
o
n
j
(
a
2
)
a
3
c
o
n
j
(
a
3
)
−
1
)
因为
a⃗
a
→
单位长为1，所以
a21+a22+a23=1
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
=
1
，所以
a⃗ ∧a⃗ ∧=a⃗ a⃗ ⊤−I
a
→
∧
a
→
∧
=
a
→
a
→
⊤
−
I
.
-
证明式(4.21)
a⃗ ∧a⃗ ∧a⃗ ∧=⎛⎝⎜⎜0−a3a22−a3(a12+a32)a2a32+a2(a12+a22)a3a12+a3(a22+a32)0−a1a32−a1(a12+a22)−a2a12−a2(a22+a32)a1a22+a1(a12+a32)0⎞⎠⎟⎟
a
→
∧
a
→
∧
a
→
∧
=
(
0
a
3
a
1
2
+
a
3
(
a
2
2
+
a
3
2
)
−
a
2
a
1
2
−
a
2
(
a
2
2
+
a
3
2
)
−
a
3
a
2
2
−
a
3
(
a
1
2
+
a
3
2
)
0
a
1
a
2
2
+
a
1
(
a
1
2
+
a
3
2
)
a
2
a
3
2
+
a
2
(
a
1
2
+
a
2
2
)
−
a
1
a
3
2
−
a
1
(
a
1
2
+
a
2
2
)
0
)
注意到
a21+a22+a23=1
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
=
1
，且
−a⃗ ∧=⎛⎝⎜0−a3a2a30−a1−a2a10⎞⎠⎟
−
a
→
∧
=
(
0
a
3
−
a
2
−
a
3
0
a
1
a
2
−
a
1
0
)
所以:
a⃗ ∧a⃗ ∧a⃗ ∧=−a⃗ ∧
a
→
∧
a
→
∧
a
→
∧
=
−
a
→
∧
5 验证
Rp⃗ ∧R⊤=(Rp⃗ )∧
R
p
→
∧
R
⊤
=
(
R
p
→
)
∧
.
证明比较难，暂没有时间钻研，留待以后再补上。
6 比较重要的几个公式：
(1)
Rp⃗ ∧R⊤=(Rp⃗ )∧
R
p
→
∧
R
⊤
=
(
R
p
→
)
∧
(2) SO(3)的伴随：
Rexp(p⃗ ∧)R⊤=exp((Rp⃗ )∧)
R
exp
(
p
→
∧
)
R
⊤
=
exp
(
(
R
p
→
)
∧
)
(3)
SE(3)的伴随性质：
Texp(ξ)T−1=exp((Ad(T)ξ)∧)
T
exp
(
ξ
)
T
−
1
=
exp
(
(
A
d
(
T
)
ξ
)
∧
)
其中：
Ad(T)=[R0t⃗ ∧RR]
A
d
(
T
)
=
[
R
t
→
∧
R
0
R
]
