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概率论的几种常考分布总结

2023-11-12

两点分布（0-1分布）        X ~ b(1，p)        EX = p        DX=p^{2}

                P(X = 1)=p

二项分布        X ~ b(n，p)        EX = np        DX = np(1-p)

                P(X=k)=\binom{k}{n}p^{k}(1-p)^{n-k}        k = 0,1,2,...,n

指数分布        （参数为\lambda）        EX=\frac{1}{\lambda }        DX=\frac{1}{\lambda ^{2}}

                f(x)=\begin{Bmatrix} \lambda e^{-\lambda x},x>=0\\ 0,x<0 \end{Bmatrix}

线性分布        （参数为a、b）        EX=\frac{a+b}{2}        DX=\frac{(b-a)^{2}}{12}

                f(x)=\begin{Bmatrix} \frac{1}{b-a},a\leq x\leq b\\ 0,else \end{Bmatrix}

泊松分布        X ~ \pi（\lambda）        EX=\lambda        DX = \lambda

                P(x=k)=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }        k = 0,1,2,...,n

几何分布        EX=\frac{1}{p}        DX=\frac{1-p}{p^{2}}

                P(X=k)=p(1-p)^{k-1}        k = 1,2,3,...,n

超几何分布        X ~ H(n,N1,N)        EX = n\frac{N_{1}}{N}        DX=n\frac{N_{1}}{N}\frac{N_{2}}{N}\frac{N-n}{N-1}

        各变量的含义理解：在N个元素中,假设分为两类,即N1,N2,从中不放回的抽取n个,这n个元素中含有第一类元素的个数.        (注意：N = N1 + N2)

                P(x=k) =\frac{\binom{k}{N_{1}}\binom{n-k}{N_{2}}}{\binom{n}{N_{1}+N_{2}}}         k = 0,1,2,...,n1

正态分布        X ~ N(\mu ,\delta ^{2})        EX=\mu        DX=\delta ^{2}

                标准公式：        f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}

                当 \mu =0,\sigma =1 时，得到标准正态分布，即        f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^{2}}{2}}

                注意：一般的关于 X 的正态分布，可通过换元：Y = \frac{X-\mu }{\sigma } 化成关于 Y 的标准正态分布，而标准正态分布的函数值可以通过查表得知。

最后有两个常用的反常积分（泊松积分）：

\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx = \sqrt{\pi }        \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx=\sqrt{2\pi }

以上公式是高频考点，一定要重点掌握！！！

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