程序员经验分享-hwhale

非中心卡方分布

2023-11-14

非中心卡方分布

非中心卡方分布是卡方分布的一般化形式。如果  X_i,\hspace{0.5em} i=1,\cdots,k  是 k 个独立的正态分布的随机变量均值为 \mu_i 方差为 \sigma_i^2，表示为 N(\mu_i, \sigma_i^2)，那么随机变量

X=\sum _{i=1}^k\left ( \frac{X_i}{\sigma_i }\right )^2

为非中心卡方分布.

非中心卡方分布涉及两个参数： k 表示自由度，即 X_i 的数目，\lambda 是和随机变量 X_i 相关的参数：

\lambda =\sum _{i=1}^k\left ( \frac{\mu_i }{\sigma_i }\right )^2

由以上参数所定义的非中心卡方分布的概率密度函数 （PDF）为：

f(x;k,\lambda)=\sum_{i=0}^\infty\frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^i}{i!}f(x;k+2i)

其中，f(x;\nu) 表示自由度为 \nu 的中心卡方分布的概率密度函数。

f(x,\nu) = \frac{e^{-x/2}x^{\nu/2 - 1}} {2^{\nu/2}\Gamma({\nu/2}) }, \hspace {1em} x \ge 0

式中

\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} {t^{a-1}e^{-t}dt}=(a-1)\Gamma(a-1)

\Gamma (1)=1, \hspace{1em} \Gamma (1/2)=\sqrt \pi

可见非中心卡方分布的概率密度函数可以表示为 自由度为 k+2i,(i=0,1,\cdots) 的中心卡方分布的概率密度函数的加权和。

非中心卡方分布的概率密度函数还可以进一步表示为：

f(x;k,\lambda)=\frac{1}{2}e^{-(x+\lambda)/2}\left ( \frac{x}{\lambda } \right )^{k/4-1/2}I_{k/2-1}\left ( \sqrt{\lambda x} \right )

其中，

I_{\nu}(y)=\left (\frac{y}{2} \right )^\nu \sum _{j=0}^{\infty}\frac{\left ( \frac{y}{2} \right )^{2j}}{j!\Gamma (\nu+j+1)}

是第一类 \nu 阶变换的贝塞尔函数。

根据贝塞尔函数和超几何函数之间的关系，非中心卡方分布的概率密度函数还可以表示为

f(x;k,\lambda)=\frac{e^{-x/2}{x}^{k/2-1}}{2^{k/2}\Gamma (k/2)} \cdot e^{-\lambda/2} { }_0F_1( ;\frac{k}{2};\frac{\lambda x}{4})=f(x;k) \cdot e^{-\lambda/2} { }_0F_1( ;\frac{k}{2};\frac{\lambda x}{4}),

非中心卡方分布的概率密度函数等于相同自由度的中心卡方分布的概率密度函数乘以一个均值相关的函数和一个超几何函数。

超几何函数

{ }_0F_1( ;\gamma;z)=\sum _{n=0}^\infty \frac{z^n}{\left ( \gamma \right )_n n!}=\sum _{n=0}^\infty \frac{\Gamma (\gamma )z^n} {\Gamma\left ( \gamma +n \right ) n!}
 更一般的超几何函数

F ( \alpha , \beta ; \gamma ; z) =\ {}_{2} F _ {1} ( \alpha , \beta ; \gamma ; z) = \ F ( \beta , \alpha ; \gamma ; z) \\ \\=\sum _ {n = 0 } ^ \infty \frac{( \alpha ) _ {n} ( \beta ) _ {n} }{( \gamma ) _ {n} } \frac{z ^ {n} }{n!\ } =\frac{\Gamma ( \gamma ) }{\Gamma ( \alpha ) \Gamma ( \beta ) } \sum _ {n = 0 } ^ \infty \frac{\Gamma ( \alpha + n) \Gamma ( \beta + n) }{\Gamma ( \gamma + n) } \frac{z ^ {n} }{n!},

是以下微分方程的解

z ( 1 - z) w ^ {\prime\prime} + [ \gamma - ( \alpha + \beta + 1) z] w ^ \prime - \alpha \beta w = 0.

 非中心卡方分布的概率密度函数推导

(1) 假设随机变量  X_i,\hspace{0.5em} i=1,\cdots,k  是 k 个相互独立的正态分布随机变量。假定随机变量具有相同的方差， \sigma _1=\sigma _2=\cdots=\sigma _k=1 ，这样的随机变量 X_i,\hspace{0.5em} i=1,\cdots,k 称为球形对称。那么随机变量

X=\sum _{i=1}^k X_i^2

为非中心卡方分布。

（2）该分布由参数

\lambda =\sum _{i=1}^k \mu_i ^2

决定。

由于球形对称，可以假设 \mu _1=\sqrt \lambda , \hspace{1em}\mu_2=\cdots=\mu_k=0.

（3）先计算 X=X_1^2 的概率密度函数

X_1 概率密度函数为 \phi (x-\sqrt \lambda ), 这里 \phi (x) 表示标准高斯概率密度函数

\phi (x) =\frac{1}{\sqrt {2\pi}} e^{-x^2/2}

通过变量代换可以得到 X=X_1^2 的概率密度函数为

f(x;1,\lambda) =\frac{1}{2\sqrt {2\pi x}}\left ( \phi (\sqrt{x}-\sqrt{\lambda })+ \phi (\sqrt{x}+\sqrt{\lambda }) \right ) \vspace{0.5em} \\=\frac{1}{\sqrt {2\pi x}}e^{-(x+\lambda )/2}\frac{e^{\sqrt{\lambda x}}+e^{-\sqrt{\lambda x}}}{2} \\ =\frac{e^{-(x+\lambda )/2}}{\sqrt {2\pi x}}\sum_{n=0}^\infty \frac{\lambda^n x^n}{(2n)!}, \qquad\qquad \sqrt{\pi}(2n)!=2^nn!\cdot 2^n\Gamma(n+1/2) \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-\lambda /2}(\lambda/2)^n }{n!}\frac{e^{-x/2}x^{n-1/2}}{2^{n+1/2}\Gamma (n+1/2)} \\=\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-\lambda /2}(\lambda/2)^n }{n!}f(x;1+2n)

（注：这里第一个等号右边的第一项对应高斯分布的正半轴，第二项对应高斯分布的负半轴。）

（4）最后考虑变量 X_i,\hspace{0.5em} i=2,\cdots,k，得到 k 自由度非中心卡方分布的概率密度函数：

f(x;k,\lambda)=\sum_{i=0}^\infty\frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^i}{i!}f(x;k+2i)

推导结束。

本文内容由网友自发贡献，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有涉嫌抄袭侵权的内容，请联系:hwhale#tublm.com(使用前将#替换为@)

数学基础

概率论

数字通信

非中心卡方分布 的相关文章

  • 概率论的几种常考分布总结

    两点分布 0 1分布 X b 1 p 二项分布 X b n p k 0 1 2 n 指数分布 参数为 线性分布 参数为a b 泊松分布 X k 0 1 2 n

  • 伪似然估计（Pseudo Maximum Likelihood Estimation）

    伪似然估计 和 剖面似然估计 伪似然估计 参考文献 Gong G and Samaniego F J 1981 pseudo Maximum Likelihood Estimation Theory and Applications The

  • 统计学学习笔记：L1-总体、样本、均值、方差

    目录 一 总体和样本 二 集中趋势分析 2 1 均值 2 1 1 样本均值 2 1 2 总体均值 2 2 众数 中位数 三 离散趋势分析 3 1 总体方差 3 2 样本方差 3 3 标准差 一 总体和样本 比如要计算全国男性的平均身高 但是

  • 概率论【离散型二维变量与连续性二维变量（上）】--猴博士爱讲课

    5 离散型二维变量与连续性二维变量 上 1 8 已知二维离散型分布律 求 离散型直接看表 做题方法参考如下 2 8 已知二维离散型分布律 判断独立性 如果满足p xy p x p y 那么相互独立 则我们只需要验证每一个p xy p x p

  • 随机数与简单的周期运动轨迹图案

    背景 概率论的书上有这样一个示例 设想某人在平面上从零点出发 手持一个均匀四面体 四面分别标有1 2 3 4 每个面代表一个方向 东南西北 他随意抛出后 按照这个方向走一单位长度 若干次后观测他走过的路线的轨迹 由此你有什么联想 联想倒是没

  • 概率与统计——概率分布

    离散概率分布 一 伯努利分布 Bernoulli distribution 伯努利分布又称 0 1分布 两点分布 伯努利分布指的是对于随机变量X有 参数为p 0

  • 光线追踪渲染实战（五）：低差异序列与重要性采样，加速收敛！

    项目代码仓库 GitHub https github com AKGWSB EzRT gitee https gitee com AKGWSB EzRT 目录 前言 1 低差异序列介绍 2 sobol 序列及其实现 2 1 生成矩阵与递推式

  • 方差分析（ANOVA）的基本原理及R实现（单因素）

    方差分析 analysis of variance ANOVA 几乎是在统计学分析中最常用的方法 通过分析各变量的主效应 main effect 和交互效应 interaction effect 从而发现因变量 dependent vari

  • 蓝桥杯2021年第十二届真题第一场-砝码称重

    题目 题目链接 题解 动态规划 状态定义 dp i j 表示前i个砝码是否能称出重量为j的物品 状态转移 对于第i个砝码 选和不选两种情况 对于选又可以分为放在左边和放在右边 看样例 存在加和减的情况 也就是放在左边和右边的情况 我们规定放

  • CANopen基本概念学习笔记

    参考文献 Kinco FD CD3系列伺服驱动器使用手册20210125 CANopen协议讲解课件 信捷 CANopen 通讯用户手册 基于CANopen协议的网络主控制器的设计 前置文章 CAN总线技术基本概念简述 0 CANopen简

  • 一.用matlab生成想要的分布数据——均匀分布

    给大家讲讲怎么用matlab生成想要分布的随机数吧 1 均匀分布 2 正态分布 3 对数正态分布 4 gumbel分布 5 weibull分布 6 指数分布 7 Raili分布 1 均匀分布 matlab的rand指令可以帮助我们生成0 1

  • 西瓜+南瓜-task1 模型评估与选择

    题外话 南瓜书是西瓜书公式的进一步深入 机器学习研究什么 对历史经验的归纳总结 预测 比如 早霞不出门晚霞行千里 通过历史累计 经验 预测第二天是晴天还是雨天 此处的 经验 类似于历史数据 通过学习数据 或者训练数据 提前预判 这就是机器学

  • SPSS知识点复习

    一 T检验 对连续变量使用的方法 T检验 方差检验 1 均值 Means 过程 完成数据分组输出描述统计量 2 T检验 用t分布理论来推论差异发生的概率 从而比较两个平均数的差异是否显著 前提 总体服从正态分布 样本量不超过30 3 单样本

  • 论文R语言复现

    高斯混合概率在众多领域都有重要应用 依据已知观测数据估计高斯模型中未知参数就显得尤为重要 由于观测值具体来自于高斯分布的哪个分模型是未知的 那么利用传统的极大似然 MLE 方法进行参数估计就变得十分困难 引入 EM 算法 该方法通过构造分布

  • 机器学习之高斯过程

    高斯过程 高斯过程 Gaussian Process 高斯分布 置信区间 随机过程 高斯分布的特点 核函数 白噪声处理 实战 高斯过程 Gaussian Process 在机器学习领域里 高斯过程是一种假设训练数据来自无限空间 并且各特征都

  • 布隆过滤器（Bloom Filter）

    1 引言 通常我们会遇到很多要判断一个元素是否在某个集合中的业务场景 一般想到的是将集合中所有元素保存起来 然后通过比较确定 链表 树 散列表 又叫哈希表 Hash table 等等数据结构都是这种思路 但是随着集合中元素的增加 我们需要的

  • 范数（简单的理解）、范数的用途、什么是范数

    没学好矩阵代数的估计范数也不是太清楚 当然学好的人也不是太多 范数主要是对矩阵和向量的一种描述 有了描述那么 大小就可以比较了 从字面理解一种比较构成规范的数 有了统一的规范 就可以比较了 例如 1比2小我们一目了然 可是 3 5 3 和

  • Laplace smoothing in Naïve Bayes algorithm（拉普拉斯平滑）

    在这里转载只是为了让不能够科学搜索的同学们看到好文章而已 个人无收益只是分享知识 顺手做个记录罢了 原网址 https towardsdatascience com laplace smoothing in na C3 AFve bayes

  • 2021.9.5笔试题

    第一题 题目 找x y target 数字特别大 可能会溢出 代码 include

  • 边缘概率密度

    对于二维连续型随机变量 设它的概率密度为 则 称 为 关于 的边缘概率密度 称 为 关于 的边缘概率密度

随机推荐

  • leetcode 1491 去掉最低工资和最高工资后的工资平均值

    leetcode 1491 去掉最低工资和最高工资后的工资平均值 题目描述 给你一个整数数组 salary 数组里每个数都是 唯一 的 其中 salary i 是第 i 个员工的工资 请你返回去掉最低工资和最高工资以后 剩下员工工资的平均值

  • 模型评估标准常用指标

    一 分类指标 样本中存在两种两种标签 样本真实标签和模型预测标签 根据这两个标签可以得到一个混淆矩阵 每一行代表样本的真实类别 数据总数表示该类别的样本总数 每一列代表样本的预测类别 数据总数表示该类别的样本总数 分类模型的评价指标主要基于

  • GPT-4 剑指多模态，前有谷歌 PaLM-E，AI 格局要变？

    本文首发自 HyperAI超神经微信公众号 美东时间 3 月 14 日 OpenAI 重磅推出大型多模态模型 GPT 4 GPT 4 是 ChatGPT 和 Bing AI 聊天机器人背后的技术基础 OpenAI 称 GPT 4 能接受图像

  • IEEE PDF eXpress系统报错：TimesNewRoman PS-BoldMT, ItalicMT, PSM

    问题 IEEE PDF eXpress系统报错 Errors Font TimesNewRomanPS BoldMT TimesNewRomanPS ItalicMT TimesNewRomanPSMT is not embedded 13

  • Python2.7和Python3.6的和平相处，pip冲突的解决办法

    第一次写 有点紧张 呈上自己遇到的一系列问题 及解决办法 我一开始在windows10下面装了python3 6 1 由于需要用到python2 7 所以昨天按照网上的教程安装 1 下载python2 7 配置环境变量 可以在下载过程中进行

  • QT ‘XXX‘ was not declared in this scope

    QT XXX was not declared in this scope 1 未定义 解决办法 变量直接使用但没有定义 定义相应的函数或变量即可 2 字符错误 解决办法 看看字母或者括号是否写错了 3 超出作用域 解决办法 增加声明 扩大

  • malloc的实现原理

    在开发c或c 时 经常需要分配内存 如今常用的分配内存函数为malloc tcmalloc jemalloc 其中属于malloc使用最平常 因为属于c标准库函数 但是网上有有实验证明另外两个效率比malloc高 这篇文章主要还是分析mal

  • openWrt 安装管理界面luci中文包

    openWrt15安装管理界面luci中文包 如果刚刷的openwrt15没有中文界面 用ssh连接路由后用opkg安装 root bang bang tang opkg install luci i18n base zh cn Unkno

  • 关于自己对像Chat-GPT的反应速度感悟

    这几个月相信大家应该对ChatGPT都不陌生了吧 因为这个东西已经在各大社交媒体可以说是无限次曝光了 就连一些其他行业的 完全跟科技行业沾不上边的朋友们 都知道了 可想而知 这个是有多火了 而我之所以发表这个感悟 其实也是自己的一个反思吧

  • matlab画矩阵无向网络图,[转]矩阵生成无向网络图

    功能是将邻接矩阵或关联矩阵变为网络图 不过这里只能转换为无向图 有向图的箭头还需要在研究一下 似乎有annotation函数可以调用 函数名netplot 使用方法输入请help netplot 无返回值 函数只能处理无向图 作者 tian

  • 【Java编程】JavaSE基础总结（三）：异常机制、泛型

    JavaSE基础总结 三 1 Java异常机制 1 1 异常 在理想的情况下 我们的程序会按照我们的思路去运行 按理说是不会出现问题的 但是 代码实际编写后并不一定是完美的 可能会有我们没有考虑到的情况 如果这些情况能够正常得到一个错误的结

  • 在C++中 ，什么时候用:: ?什么时候用. ?什么时候用-＞?

    在C 中 什么时候用 什么时候用 什么时候用 gt 在 C 中 和 gt 是三种不同的运算符 用于访问类 结构体 命名空间 指针等的成员 它们的使用场景如下 作用域解析运算符 用于访问命名空间的成员或静态成员 例如 假设有一个命名空间 My

  • 内核中时间相关的知识介绍

    1 内核要解决的时间相关问题 1 如何度量时间差 如何比较时间 2 如何获取当前时间 3 如何将操作延迟指定的一段时间 4 如何调度异步函数到指定的时间之后执行 2 度量时间差 2 1 内核度量时间的原理 1 Soc有时间相关的硬件 比如定

  • tar打包split分割分解拆分大包文件

    2010 01 26 12 47 http hi baidu com hovlj 1130 item fe21d8342e68aa86c3cf2928 tar打包split分割分解拆分大包文件 有时候远程下载tar包的时候 由于包太大 失去

  • 语法分析—自上而下分析

    1 美图 2 位置 语法分析器的功能 语法分析的任务是分析一个文法的句子结构 语法分析器的功能 按照文法的产生式 语言的语法规则 识别输入符号串是否为一个句子 合式程序 语法分析的方法 不行 看不懂 我太难了 不看了

  • Goldengate 12.2新特性-自描述的队列文件

    OGG12 2中最大的变化之一就是队列文件是自描述的 意思是不再担心以前版本中 表结构异构的情况 也不再需要defgen生成定义文件 以及不再使用assumeTargetDefs或SourceDefs参数 许多手工处理的步骤不再需要了 即使

  • 【C/C++】三目运算符的详细分析

    前言 C C 三目运算符是一种条件运算符 也被称为 三元运算符 或 条件运算符 它的语法结构为 condition true expression false expression 表示如果 condition 为真 则执行 true ex

  • 2023华为杯数学建模研赛A题B题C题D题E题F题思路代码成品分享

    2022华为杯将于9 22开赛 思路贴将于早上发布 粉丝可见 国一F奖3年数学建模经验团队 交流裙 735249423 下文是2022年研赛E的思路示例 E题思路 问题1 从机理分析的角度 建立不同放牧策略 放牧方式和放牧强度 对锡林郭勒草

  • .npmrc的作用

    npmrc 文件是用于配置 npm Node js 包管理器 行为的配置文件 通过在项目根目录下创建或编辑 npmrc 文件 你可以自定义 npm 的一些行为和设置 以满足你的项目需求 这个文件通常包含一些键值对 每一对都对应着一个配置项

  • 非中心卡方分布

    非中心卡方分布 非中心卡方分布是卡方分布的一般化形式 如果 是 个独立的正态分布的随机变量均值为 方差为 表示为 那么随机变量 为非中心卡方分布 非中心卡方分布涉及两个参数 表示自由度 即 的数目 是和随机变量 相关的参数 由以上参数所定义

热门标签