一、SVD的应用
奇异值分解：
优点：简化数据，去除噪声。提高算法的结果。
缺点：数据转换难以理解。
利用SVD能够实现用小得多的数据集来表示原始数据集，这样做，实际上是去除了噪声和冗余信息。当我们视图节省空间时，去除噪声和冗余信息是目标，但是我们这里则是从数据中抽取信息，基于这个视角，我们可以把SVD看成是从有噪声的数据中抽取相关特征。
1、隐性语义索引（LSI）
利用SVD的方法为隐性语义索引（Latent Semantic Indexing, LSI）或隐性语义分析（Latent Semantic Analysis, LSA）。在LSI中，一个矩阵是由文档和词语组成的，应用SVD时，会构建出多个奇异值，其代表了文档中的概念或主题。
2、推荐系统
上述矩阵由餐馆的菜和品菜师对这些菜的意见构成的。品菜师采用1到5之间的任意一个整数来对菜评级，如果品菜师没有尝过某道菜，则评级为0。对上述矩阵进行SVD分解，会得到两个奇异值（注意其特征值位2），也即仿佛有两个概念或主题与此数据集相关联。
3.特征分解
在很多情况下,数据中的一小段携带了数据集中的大部分信息,其他信息则要么是噪声,要么就是毫不相关的信息。在线性代数中还有很多矩阵分解技术。 矩阵分解可以将原始矩阵表示成新的易于处理的形式。
SVD将原始数据集矩阵Data分解成三个矩阵U,sigma,V.T。
分解出来的sigma矩阵为对角阵，对角元素从大到小排列，称之为奇异值（Singular Value），这些奇异值为Data*Data.T特征值的平方根。且若是Data的秩为r，则奇异值的个数为r个，也即数据集中仅有r个重要特征。
4.奇异值：
下面谈谈奇异值分解。特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但是它只是对方阵而言的，在现实的世界中，我们看到的大部分矩阵都不是方阵，比如说有N个学生，每个学生有M科成绩，这样形成的一个N * M的矩阵就不可能是方阵，我们怎样才能描述这样普通的矩阵呢的重要特征呢？奇异值分解可以用来干这个事情，奇异值分解是一个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法：
假设A是一个N * M的矩阵，那么得到的U是一个N * N的方阵（里面的向量是正交的，U里面的向量称为左奇异向量），Σ是一个N * M的矩阵（除了对角线的元素都是0，对角线上的元素称为奇异值），V’(V的转置)是一个N * N的矩阵，里面的向量也是正交的，V里面的向量称为右奇异向量），从图片来反映几个相乘的矩阵的大小可得下面的图片
那么奇异值和特征值是怎么对应起来的呢？首先，我们将一个矩阵A的转置 * A，将会得到一个方阵，我们用这个方阵求特征值可以得到：
这里得到的v，就是我们上面的右奇异向量。此外我们还可以得到：
这里的σ就是上面说的奇异值，u就是上面说的左奇异向量。奇异值σ跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且σ的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵，这里定义一下部分奇异值分解：
r是一个远小于m、n的数，这样矩阵的乘法看起来像是下面的样子：
右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于A的矩阵，在这儿，r越接近于n，则相乘的结果越接近于A。而这三个矩阵的面积之和（在存储观点来说，矩阵面积越小，存储量就越小）要远远小于原始的矩阵A，我们如果想要压缩空间来表示原矩阵A，我们存下这里的三个矩阵：U、Σ、V就好了。
5.奇异值的计算：
奇异值的计算是一个难题，是一个O(N^3)的算法。在单机的情况下当然是没问题的，matlab在一秒钟内就可以算出1000 * 1000的矩阵的所有奇异值，但是当矩阵的规模增长的时候，计算的复杂度呈3次方增长，就需要并行计算参与了。Google的吴军老师在数学之美系列谈到SVD的时候，说起Google实现了SVD的并行化算法，说这是对人类的一个贡献，但是也没有给出具体的计算规模，也没有给出太多有价值的信息。
其实SVD还是可以用并行的方式去实现的，在解大规模的矩阵的时候，一般使用迭代的方法，当矩阵的规模很大（比如说上亿）的时候，迭代的次数也可能会上亿次，如果使用Map-Reduce框架去解，则每次Map-Reduce完成的时候，都会涉及到写文件、读文件的操作。个人猜测Google云计算体系中除了Map-Reduce以外应该还有类似于MPI的计算模型，也就是节点之间是保持通信，数据是常驻在内存中的，这种计算模型比Map-Reduce在解决迭代次数非常多的时候，要快了很多倍。
Lanczos迭代就是一种解对称方阵部分特征值的方法（之前谈到了，解A’* A得到的对称方阵的特征值就是解A的右奇异向量），是将一个对称的方程化为一个三对角矩阵再进行求解。按网上的一些文献来看，Google应该是用这种方法去做的奇异值分解的。请见Wikipedia上面的一些引用的论文，如果理解了那些论文，也“几乎”可以做出一个SVD了。
由于奇异值的计算是一个很枯燥，纯数学的过程，而且前人的研究成果（论文中）几乎已经把整个程序的流程图给出来了。更多的关于奇异值计算的部分，将在后面的参考文献中给出，这里不再深入，我还是focus在奇异值的应用中去。
二、利用Python实现SVD
#SVD算法是对原数据矩阵的分解，分解为左奇异矩阵*奇异值矩阵*右奇异矩阵的乘积
from numpy import *
import numpy as np
def loadDataSet1():
dataSet = [[1,1],
[7,7]]
return mat(dataSet)
def loadDataSet2():
dataSet = [[1,1,1,0,0],
[2,2,2,0,0],
[1,1,1,0,0],
[5,5,5,0,0],
[1,1,0,2,2],
[0,0,0,3,3],
[0,0,0,1,1]]
return mat(dataSet)
def loadDataSet3():
dataSet = [[4,4,0,2,2],
[4,0,0,3,3],
[4,0,0,1,1],
[1,1,1,2,0],
[2,2,2,0,0],
[1,1,1,0,0],
[5,5,5,0,0]]
return mat(dataSet)
if __name__ == "__main__":
#利用numpy模块中的函数进行SVD三个矩阵的求解
# U,sigma,VT = np.linalg.svd(loadDataSet1())
# sigmaMat = mat([[sigma[0],0],[0,sigma[1]]])
# print("sigmaMat:",sigmaMat)
# print("U:",U)
# print("sigma:",sigma)
# print("type(sigma):",type(sigma))
# print("VT",VT)
# dataSet2 = loadDataSet2()
# print("dataSet2:",dataSet2)
# U, sigma, VT = np.linalg.svd(dataSet2)
# # print("sigma:",sigma)
# #组合sigma矩阵
# sigmaMat = mat([[sigma[0],0,0],[0,sigma[1],0],[0,0,sigma[2]]])
# dataSetRec = U[:,:3]*sigmaMat*VT[:3,:]
# print()
# print(