交变波
u
(
t
)
u(t)
u(t)的功率谱密度
P
u
(
ω
)
P_u(\omega)
Pu(ω)
P
u
(
ω
)
=
f
s
P
(
1
−
P
)
[
G
1
(
f
)
−
G
2
(
f
)
]
2
P_u(\omega)=f_sP(1-P)[G_1(f)-G_2(f)]^2
Pu(ω)=fsP(1−P)[G1(f)−G2(f)]2
稳态波
v
(
t
)
v(t)
v(t)的功率谱密度
P
v
(
ω
)
P_v(\omega)
Pv(ω)
P
v
(
ω
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
∣
f
s
[
P
G
1
(
f
)
+
(
1
−
P
)
G
2
(
f
)
]
∣
2
δ
(
f
−
n
f
s
)
P_v(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|f_s[PG_1(f)+(1-P)G_2(f)]|^2 \delta(f-nf_s)
Pv(ω)=n=−∞∑∞∣fs[PG1(f)+(1−P)G2(f)]∣2δ(f−nfs)
s
(
t
)
=
u
(
t
)
+
v
(
t
)
s(t)=u(t)+v(t)
s(t)=u(t)+v(t)的功率谱密度
P
s
(
f
)
P_s(f)
Ps(f) 随机序列
s
(
t
)
s(t)
s(t)的功率谱密度为
P
s
(
f
)
=
P
u
(
f
)
+
P
v
(
f
)
=
f
s
P
(
1
−
P
)
[
G
1
(
f
)
−
G
2
(
f
)
]
2
+
∑
n
=
−
∞
∞
∣
f
s
[
P
G
1
(
f
)
+
(
1
−
P
)
G
2
(
f
)
]
∣
2
δ
(
f
−
n
f
s
)
P_s(f)=P_u(f)+P_v(f)\\ =f_sP(1-P)[G_1(f)-G_2(f)]^2\\ +\sum_{n=-\infty}^{\infty}|f_s[PG_1(f)+(1-P)G_2(f)]|^2 \delta(f-nf_s)
Ps(f)=Pu(f)+Pv(f)=fsP(1−P)[G1(f)−G2(f)]2+n=−∞∑∞∣fs[PG1(f)+(1−P)G2(f)]∣2δ(f−nfs) 【结论】随机脉冲序列的功率谱可能包含连续谱和离散谱。
对于连续谱而言，由于
g
1
(
t
)
≠
g
2
(
t
)
g_1(t) \neq g_2(t)
g1(t)=g2(t)，因为总是存在；
由连续谱可确定信号带宽；
离散谱是否存在，取决
g
1
(
t
)
g_1(t)
g1(t)和
g
2
(
t
)
g_2(t)
g2(t)的波形及出现的概率
P
P
P；
当
g
1
(
t
)
=
g
2
(
t
)
g_1(t) = g_2(t)
g1(t)=g2(t)，且
P
=
1
2
P=\frac{1}{2}
P=21（双极性，0、1等概）时，离散谱消失。
无码间串扰基带传输特性应满足的时域条件：
h
(
k
T
s
)
=
{
1
,
k
=
0
0
,
k
为其他整数
h(kT_s)= \begin{cases} 1&,k=0\\ 0&,k\text{为其他整数} \end{cases}
h(kTs)={10,k=0,k为其他整数 【说明】无码间串扰的基带系统冲激响应除
t
=
0
t=0
t=0时取值不为零外，其他抽样时刻
t
=
k
T
s
t=kT_s
t=kTs上的抽样值均为零
无码间串扰基带传输特性应满足的频域条件：
∑
i
=
−
∞
∞
H
(
ω
+
2
π
i
T
s
)
=
T
s
,
∣
ω
∣
≤
π
T
s
\sum_{i=-\infty}^{\infty}H(\omega+\frac{2 \pi i}{T_s})=T_s,|\omega| \leq \frac{\pi}{T_s}
i=−∞∑∞H(ω+Ts2πi)=Ts,∣ω∣≤Tsπ
∑
i
=
−
∞
∞
H
(
ω
+
2
π
i
T
s
)
\sum_{i=-\infty}^{\infty}H(\omega+\frac{2 \pi i}{T_s})
∑i=−∞∞H(ω+Ts2πi)含义 将
H
(
ω
)
H(\omega)
H(ω)在
ω
\omega
ω轴上移位
2
π
i
T
s
\frac{2 \pi i}{T_s}
Ts2πi，然后把各项移至
∣
ω
∣
≤
π
T
s
|\omega| \leq \frac{\pi}{T_s}
∣ω∣≤Tsπ区间内的内容进行叠加
理想低通特性
H
e
q
(
ω
)
=
H
(
ω
)
=
{
∑
i
=
−
∞
∞
H
(
ω
+
2
π
i
T
s
)
=
T
s
,
∣
ω
∣
≤
π
T
s
0
,
∣
ω
∣
>
π
T
s
H_{eq}(\omega)=H(\omega)= \begin{cases} \sum_{i=-\infty}^{\infty}H(\omega+\frac{2 \pi i}{T_s})=T_s&,|\omega| \leq \frac{\pi}{T_s} \\ 0&,|\omega| > \frac{\pi}{T_s} \end{cases}
Heq(ω)=H(ω)={∑i=−∞∞H(ω+Ts2πi)=Ts0,∣ω∣≤Tsπ,∣ω∣>Tsπ 【结论】输入序列若以
1
T
s
\frac{1}{T_s}
Ts1波特的速率进行传输时，所需的最小传输带宽为
1
2
T
s
\frac{1}{2T_s}
2Ts1——在抽样时刻无码间串扰条件下，基带系统所能达到额极限情况——基带系统能提供的最高频带利用率
η
=
2
\eta =2
η=2
奈奎斯特带宽：无码间串扰的最大传输带宽
1
2
T
s
\frac{1}{2T_s}
2Ts1，记为
W
1
W_1
W1
奈奎斯特速率：无码间串扰的最高传输速率为
2
W
1
B
a
u
d
2W_1Baud
2W1Baud
理想低通传输特性的基带系统优缺点： 【优点】有最大的频带利用率
η
=
2
\eta=2
η=2 【缺点】理想矩形特性的物理实现困难；冲击响应
h
(
t
)
h(t)
h(t)有很长的“拖尾”，衰减慢，可能出现严重码间串扰
解决方法——引入滚降 滚降系数：
α
=
W
2
W
1
\alpha=\frac{W_2}{W_1}
α=W1W2 冲激响应：
h
(
t
)
=
sin
(
π
t
T
s
)
π
t
T
s
⋅
cos
[
α
(
π
t
T
s
)
]
1
−
4
α
2
t
2
T
s
2
h(t)=\frac{\sin(\frac{\pi t}{T_s})}{\frac{\pi t}{T_s}} \cdot \frac{\cos[\alpha (\frac{\pi t}{T_s})]}{1-4\alpha^2 \frac{t^2}{T_s^2}}
h(t)=Tsπtsin(Tsπt)⋅1−4α2Ts2t2cos[α(Tsπt)] 带宽：
B
=
1
+
α
2
T
s
=
(
1
+
α
)
⋅
R
B
2
B=\frac{1+\alpha}{2T_s}=(1+\alpha) \cdot \frac{R_B}{2}
B=2Ts1+α=(1+α)⋅2RB 频带利用率：
η
=
R
B
B
α
=
2
f
N
(
1
+
α
)
f
N
=
2
1
+
α
\eta=\frac{R_B}{B_\alpha}=\frac{2f_N}{(1+\alpha)f_N}=\frac{2}{1+\alpha}
η=BαRB=(1+α)fN2fN=1+α2
升余弦滚降特性 滚降系数：
α
=
1
\alpha=1
α=1 系统特性：
H
(
ω
)
=
{
T
s
2
(
1
+
cos
ω
T
s
2
)
,
∣
ω
∣
≤
2
π
T
s
0
,
∣
ω
∣
>
2
π
T
s
H(\omega)= \begin{cases} \frac{T_s}{2}(1+\cos \frac{\omega T_s}{2})&,|\omega| \leq \frac{2\pi}{T_s} \\ 0&,|\omega| > \frac{2\pi}{T_s} \end{cases}
H(ω)={2Ts(1+cos2ωTs)0,∣ω∣≤Ts2π,∣ω∣>Ts2π 冲激响应：
h
(
t
)
=
sin
(
π
t
T
s
)
π
t
T
s
⋅
cos
(
π
t
T
s
)
1
−
4
t
2
T
s
2
h(t)=\frac{\sin(\frac{\pi t}{T_s})}{\frac{\pi t}{T_s}} \cdot \frac{ \cos(\frac{\pi t}{T_s})}{1-4 \frac{t^2}{T_s^2}}
h(t)=Tsπtsin(Tsπt)⋅1−4Ts2t2cos(Tsπt) 带宽：
B
=
1
+
α
2
T
s
=
(
1
+
α
)
⋅
R
B
2
=
R
B
B=\frac{1+\alpha}{2T_s}=(1+\alpha) \cdot \frac{R_B}{2}=R_B
B=2Ts1+α=(1+α)⋅2RB=RB 频带利用率：
η
=
R
B
B
α
=
2
f
N
(
1
+
α
)
f
N
=
2
1
+
α
=
1
\eta=\frac{R_B}{B_\alpha}=\frac{2f_N}{(1+\alpha)f_N}=\frac{2}{1+\alpha}=1
η=BαRB=(1+α)fN2fN=1+α2=1 【优点】相应曲线尾部迅速收敛，摆幅小；对定时要求不严格 【缺点】带宽增加；频率利用率降低
4.6 部分响应系统
第一类频谱主要集中在低频段，适用于信道频带高频严重受限的场合；
第四类频谱无直流分量，且低频分量小，便于通过载波线路，实现单边带调制——运用广泛
当输入为
L
L
L进制信号时，经部分响应传输系统的第一类、第四类部分响应得到的信号的电平数为
2
L
−
1
2L-1
2L−1
【优点】能实现2Baud/Hz的频带利用率，且传输波形的“尾巴”衰减大和收敛快；改善了频谱特性；使相应波形尾部迅速收敛，摆幅较小 【缺点】当输入数据为
L
L
L进制时，部分响应波形的相关编码电平数要超过
L
L
L个——在同样输入信噪比条件下，部分响应系统的抗噪声性能要比0类相应系统差
4.7 无码间串扰基带系统的抗噪声性能
基带传输系统总误码率：
P
e
=
P
(
1
)
P
(
0
/
1
)
+
P
(
0
)
P
(
1
/
0
)
=
P
(
1
)
∫
−
∞
V
d
f
1
(
x
)
d
x
+
P
(
0
)
∫
V
d
+
∞
f
0
(
x
)
d
x
P_e=P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0) =P(1)\int_{-\infty}^{V_d}f_1(x)dx+P(0)\int_{V_d}^{+\infty}f_0(x)dx
Pe=P(1)P(0/1)+P(0)P(1/0)=P(1)∫−∞Vdf1(x)dx+P(0)∫Vd+∞f0(x)dx
双极性信号
f
0
(
x
)
=
1
2
π
σ
n
e
−
(
x
+
A
)
2
2
σ
n
2
f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma_n}e^{-\frac{(x+A)^2}{2 \sigma_n^2}}
f0(x)=2πσn1e−2σn2(x+A)2
f
1
(
x
)
=
1
2
π
σ
n
e
−
(
x
−
A
)
2
2
σ
n
2
f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma_n}e^{-\frac{(x-A)^2}{2 \sigma_n^2}}
f1(x)=2πσn1e−2σn2(x−A)2 最佳判决门限（在
P
(
1
)
P(1)
P(1)、
P
(
1
)
P(1)
P(1)、
A
A
A和均方误差
σ
n
2
\sigma_n^2
σn2一定的条件下，可以找到一个使误码率小的判决门限电平
V
d
V_d
Vd，这个门限电平成为最佳门限电平）：
V
d
=
σ
n
2
2
A
ln
P
(
0
)
P
(
1
)
V_d=\frac{\sigma_n^2}{2A}\ln\frac{P(0)}{P(1)}
Vd=2Aσn2lnP(1)P(0) 在最下判决门限下的总误码率：
P
e
=
1
2
e
r
f
c
(
A
2
σ
n
)
P_e=\frac{1}{2} erfc(\frac{A}{\sqrt{2}\sigma_n})
Pe=21erfc(2σnA) 【结论】在发送概率相等，且在最佳门限电平下，系统的总误码率仅依赖于信号峰值
A
A
A与噪声均方根值
σ
n
\sigma_n
σn的比值。而与采用什么样的信号形式无关 比值
A
σ
n
\frac{A}{\sigma_n}
σnA越大，
P
e
P_e
Pe就越小
单极性信号
f
0
(
x
)
=
1
2
π
σ
n
e
−
x
2
2
σ
n
2
f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma_n}e^{-\frac{x^2}{2 \sigma_n^2}}
f0(x)=2πσn1e−2σn2x2
f
1
(
x
)
=
1
2
π
σ
n
e
−
(
x
−
A
)
2
2
σ
n
2
f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma_n}e^{-\frac{(x-A)^2}{2 \sigma_n^2}}
f1(x)=2πσn1e−2σn2(x−A)2 最佳判决门限：
V
d
=
A
2
+
σ
n
2
A
ln
P
(
0
)
P
(
1
)
V_d=\frac{A}{2}+\frac{\sigma_n^2}{A}\ln\frac{P(0)}{P(1)}
Vd=2A+Aσn2lnP(1)P(0) 在最下判决门限下的总误码率：
P
e
=
1
2
e
r
f
c
(
A
2
2
σ
n
)
P_e=\frac{1}{2} erfc(\frac{A}{2\sqrt{2}\sigma_n})
Pe=21erfc(22σnA)
【对比】在单极性与双极性基带信号的峰值
A
A
A相等、噪声均方根值
σ
n
\sigma_n
σn相同时，单极性基带系统的抗噪声性能不如双极性基带系统 在等概条件下，单极性的最佳判决门限电平为
A
2
\frac{A}{2}
2A，随信道特性发生变化，不能保持最佳状态，导致误码率增大。而双极性的最佳判决门限电平为0，能保持最佳状态。 基带系统多采用双极性信号进行传输
4.8 眼图
眼图是指利用实验手法方便地估计和改善（通过调整）系统性能时在示波器上观察到的一种图形。眼图定性反映码间串扰和噪声的大小。 眼睛睁开度比较大，线迹细且清晰——性能好，ISI小 ISI大时，眼图不端正；有噪声时，线迹变宽 可以观察到：最佳判决门限（中央的横轴位置）、最佳判决时刻、信号失真、过零点失真、噪声容限、定时误差灵敏度（斜边） 接受二进制波形时，在一个码元周期
T
s
T_s
Ts内只能看到一只眼睛；若接受的是
M
M
M进制波形，则在一个码元周期内可以看到纵向显示的
M
−
1
M-1
M−1只眼睛；另外，若扫描周期为
n
T
s
nT_s
nTs时，可以看到并排的
n
n
n只眼睛。
横向滤波器
T
(
ω
)
=
T
s
∑
i
=
−
∞
∞
H
(
ω
+
2
π
i
T
s
)
T(\omega)=\frac{T_s}{\sum_{i=-\infty}^{\infty}H(\omega+\frac{2 \pi i}{T_s})}
T(ω)=∑i=−∞∞H(ω+Ts2πi)Ts
横向滤波器组成：由延迟单元
T
s
T_s
Ts和抽头加权系数
C
n
C_n
Cn组成，可以实现时域均衡。
