正定Hermiltian矩阵分解的两种方法

对于正定Hermiltian矩阵 B B B，想要求解 D D D，使其满足
B = D 2   , (1) B=D^2\ ,\tag{1} B=D2 ,(1)
通常而言，所得的 D D D是不唯一的。可以分别通过特征值矩阵、特征向量矩阵求解得到一个对称矩阵，而通过Cholesky分解求解可以得到一个下三角矩阵。

通过特征值矩阵和特征向量矩阵求解

对于正定Hermiltian矩阵，其为对称矩阵，通过特征值矩阵 A A A和特征向量矩阵 P P P求解所得的矩阵 D D D也是对称矩阵。其基本思路是先求解出对称矩阵 B B B对应的特征值矩阵 A A A和特征向量矩阵 P P P，将特征值矩阵求根得到矩阵 C C C，然后将特征向量矩阵 P P P作用到 C C C上得到分解后的矩阵 D D D。

通过求解矩阵 B B B的特征值和特征向量，得到特征值矩阵 A A A和特征值矩阵 P P P，满足
B = P T A P   , (2) B=P^TAP\ ,\tag{2} B=PTAP ,(2)
其中
A = [ λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 ]   , (3) A=\begin{bmatrix} \lambda_{1} &0 &0\\ 0 &\lambda_{2} &0\\ 0 &0 &\lambda_{3} \end{bmatrix}\ ,\tag{3} A=⎣⎡​λ1​00​0λ2​0​00λ3​​⎦⎤​ ,(3)
λ 1 ,   λ 2 ,   λ 3 \lambda_{1},\ \lambda_{2},\ \lambda_{3} λ1​, λ2​, λ3​为特征值， P P P为对应的特征向量矩阵。令
C = [ λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 ]   , (4) C= \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_{1}} &0 &0\\ 0 &\sqrt{\lambda_{2}} &0\\ 0 &0 &\sqrt{\lambda_{3}} \end{bmatrix}\ ,\tag{4} C=⎣⎡​λ1​ ​00​0λ2​ ​0​00λ3​ ​​⎦⎤​ ,(4)
则有
B = P T C 2 P = P T C P P T C P = D 2   , (5) \begin{aligned} B&=P^TC^2P\\ &=P^TCPP^TCP\\ &=D^2 \end{aligned}\ ,\tag{5} B​=PTC2P=PTCPPTCP=D2​ ,(5)
因此，我们得到分解后的对称矩阵 D D D满足
D = P T C P   , (6) D=P^TCP\ ,\tag{6} D=PTCP ,(6)

Matlab程序例子

将正定Hermiltian矩阵
B = [ 25 15 − 5 15 18 4 − 5 4 11 ]   , (7) B=\begin{bmatrix} 25 &15 &-5\\ 15 &18 &4\\ -5 &4 &11 \end{bmatrix}\ ,\tag{7} B=⎣⎡​2515−5​15184​−5411​⎦⎤​ ,(7)
分解。

B=[25 15 -5;15 18 4;-5 4 11];
[P,A]=eig(B);
C=sqrt(A);
D=P*C*P';
D*D

可以验证 B B B与 D ∗ D D*D D∗D相等。

通过Cholesky分解求解

对于Cholesky分解，可以参见3阶Hermitian正定矩阵Cholesky分解通用表达式

因此对于 B B B，对应的下三角矩阵 D D D的各个元素满足

D 11 = B 11 D 21 = B 21 D 11 D 22 = B 22 − D 21 2 D 31 = B 31 D 11 D 32 = B 32 − D 21 D 31 D 22 D 33 = B 33 − D 31 2 − D 32 2 (8) \begin{aligned} D_{11}&=\sqrt{B_{11}}\\ D_{21}&=\frac{B_{21}}{D_{11}}\\ D_{22}&=\sqrt{B_{22}-D_{21}^2}\\ D_{31}&=\frac{B_{31}}{D_{11}}\\ D_{32}&=\frac{B_{32}-D_{21}D_{31}}{D_{22}}\\ D_{33}&=\sqrt{B_{33}-D_{31}^2-D_{32}^2} \end{aligned}\tag{8} D11​D21​D22​D31​D32​D33​​=B11​ ​=D11​B21​​=B22​−D212​ ​=D11​B31​​=D22​B32​−D21​D31​​=B33​−D312​−D322​ ​​(8)

Matlab程序例子

将正定Hermiltian矩阵
B = [ 25 15 − 5 15 18 4 − 5 4 11 ]   , (9) B=\begin{bmatrix} 25 &15 &-5\\ 15 &18 &4\\ -5 &4 &11 \end{bmatrix}\ ,\tag{9} B=⎣⎡​2515−5​15184​−5411​⎦⎤​ ,(9)
分解。

B=[25 15 -5;15 18 4;-5 4 11];
D=zeros(3,3);
D(1,1)=sqrt(B(1,1));D(2,1)=B(2,1)/D(1,1);D(2,2)=sqrt(B(2,2)-D(2,1)^2);
D(3,1)=B(3,1)/D(1,1);D(3,2)=(B(3,2)-D(2,1)*D(3,1))/D(2,2);
D(3,3)=sqrt(B(3,3)-D(3,1)^2-D(3,2)^2);
D*D

可以验证 B B B与 D ∗ D D*D D∗D相等。

matlab也可以直接求解Cholesky分解，得到的是一个上三角矩阵

D=chol(B);
D*D

可以验证 B B B与 D ∗ D D*D D∗D相等。