叠加和对齐 3D 三角形时出现问题

我正在尝试叠加两个 3D 三角形来解决分子建模问题。这看起来很简单。我将每个三角形的第一个点平移到原点 0,0,0。然后我计算了必须绕 z 轴旋转的角度才能将第二个点放在 x 轴上。使用 Rz(theta) 的 x、y、z 公式，这将是以下角度：y=0, y=xsin(theta)+ycos(theta)=0，并重新排列，tan(theta)=-y/x角度将是arctan(-y/x)。但是，将这个角度值代入上面的原始方程不会给出零，除非在以下情况x=y，且正切为一。看起来像简单的代数 - 为什么这不起作用？ 谢谢你的帮助。

正如其他评论所暗示的那样，您很可能对投影和测角学感到困惑。还有一种更安全的方法，无需使用矢量数学（线性代数）进行测角。

1. 创建变换矩阵m0表示与第一个三角形对齐的平面t0

   通过对齐我的意思是三角形的边之一应该位于平面基向量之一中。这很简单，您只需将一个基向量设置为相关边缘，将原点设置为其点之一，然后利用叉积来获取剩余的向量。

   所以如果我们的三角形有点p0,p1,p2我们的基向量是x,y,z有起源o then:

   x = p1-p0;      x /= |x|;
   y = p2-p0; 
   z = cross(x,y); z /= |z|;
   y = cross(z,x); y /= |y|;
   o = p0
   

   所以只需将它们输入变换矩阵（请参阅答案底部的链接）

2. 创建变换矩阵m1表示与第二个三角形对齐的平面t1

   它等同于#1

3. 计算最终变换矩阵m转换t1 to t0

   这很简单：

   m = Inverse(m1)*m0
   

现在任意一点t1可以对齐到t0简单地通过乘法m矩阵按点。不要忘记使用齐次坐标，这样point(x,y,z,1)

这里小C++/OpenGL例子：

//---------------------------------------------------------------------------
double t0[3][3]=    // 1st triangle
    {
    -0.5,-0.5,-1.2,
    +0.5,-0.5,-0.8,
     0.0,+0.5,-1.0,
    };
double t1[3][3]=    // 2nd triangle
    {
    +0.5,-0.6,-2.1,
    +1.5,-0.5,-2.3,
    +1.2,+0.3,-2.2,
    };
double arot=0.0; // animation angle
//---------------------------------------------------------------------------
void gl_draw()      // main rendering code
    {
    int i;
    double m0[16],m1[16],m[16],x[3],y[3],z[3],t2[3][3];

    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
    glDisable(GL_CULL_FACE);
    glEnable(GL_DEPTH_TEST);

    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
    glLoadIdentity();
    glTranslated(0.0,0.0,-10.0);
    glRotatef(arot,0.0,1.0,0.0); 

    // render original triangles
    glBegin(GL_TRIANGLES);
    glColor3f(1.0,0.0,0.0); for (i=0;i<3;i++) glVertex3dv(t0[i]);
    glColor3f(0.0,0.0,1.0); for (i=0;i<3;i++) glVertex3dv(t1[i]);
    glEnd();

    // x,y,z = t0 plane basis vectors
    vector_sub(x,t0[1],t0[0]);  // x is fisrt edge
    vector_one(x,x);            // normalized
    vector_sub(y,t0[2],t0[0]);  // y is last edge
    vector_mul(z,x,y);          // z = cross(x,y) ... perpendicular vector to x,y
    vector_one(z,z);
    vector_mul(y,z,x);          // y = cross(z,x) ... perpendicular vector to z,x
    vector_one(y,y);
    // m0 = transform matrix representing t0 plane
    m0[ 3]=0.0; for (i=0;i<3;i++) m0[ 0+i]=x[i];
    m0[ 7]=0.0; for (i=0;i<3;i++) m0[ 4+i]=y[i];
    m0[11]=0.0; for (i=0;i<3;i++) m0[ 8+i]=z[i];
    m0[15]=1.0; for (i=0;i<3;i++) m0[12+i]=t0[0][i];

    // x,y,z = t1 plane basis vectors
    vector_sub(x,t1[1],t1[0]);  // x is fisrt edge
    vector_one(x,x);            // normalized
    vector_sub(y,t1[2],t1[0]);  // y is last edge
    vector_mul(z,x,y);          // z = cross(x,y) ... perpendicular vector to x,y
    vector_one(z,z);
    vector_mul(y,z,x);          // y = cross(z,x) ... perpendicular vector to z,x
    vector_one(y,y);
    // m1 = transform matrix representing t1 plane
    m1[ 3]=0.0; for (i=0;i<3;i++) m1[ 0+i]=x[i];
    m1[ 7]=0.0; for (i=0;i<3;i++) m1[ 4+i]=y[i];
    m1[11]=0.0; for (i=0;i<3;i++) m1[ 8+i]=z[i];
    m1[15]=1.0; for (i=0;i<3;i++) m1[12+i]=t1[0][i];

    // m = transform t1 -> t0 = Inverse(m1)*m0
    matrix_inv(m,m1);
    matrix_mul(m,m,m0);

    // t2 = transformed t1
    for (i=0;i<3;i++) matrix_mul_vector(t2[i],m,t1[i]);

    // render transformed triangle
    glLineWidth(2.0);
    glBegin(GL_LINE_LOOP);
    glColor3f(0.0,1.0,0.0); for (i=0;i<3;i++) glVertex3dv(t2[i]);
    glLineWidth(1.0);
    glEnd();

    glFlush();
    SwapBuffers(hdc);
    }
//---------------------------------------------------------------------------

我使用了自己的矩阵和向量数学，希望评论足够，如果没有看到的话：

• 理解 4x4 齐次变换矩阵

有关矩阵的信息，您也可以找到那里使用的数学的来源和方程。这里是我的测试用例的预览：

红色在哪里t0蓝色三角形是t1三角形和绿色是m*t1变换后的三角形。正如您所看到的，根本不需要测角/欧拉角。我旋转这些东西arot只是为了目视检查绿色三角形是否真的与蓝色对齐，以证明我没有犯一个愚蠢的错误。

现在还不清楚您到底想要如何对齐，因此，例如，如果您想要最大覆盖范围或尝试所有 3 种组合并记住最佳组合，或者对齐到两个三角形的最近或最大边缘等...