用 5 位二进制补码表示有符号数的最高和最低整数是多少？

我了解二进制的工作原理，并且可以将二进制计算为十进制，但我对带符号的数字感到困惑。 我找到了一个计算器进行转换。但我不确定如何找到最大值和最小值，或者在未给出二进制数的情况下进行转换，并且 StackO 中的问题似乎是关于转换特定数字或不包括有符号数字到特定位。

具体问题是：

We have only 5 bits for representing signed numbers in two's complement:

What is the highest signed integer? 
Write its decimal value (including the sign only if negative).

What is the lowest signed integer? 
Write its decimal value (including the sign only if negative).

看来我必须更深入地了解二进制概念，我只有两个月的编程时间，我以为我了解二进制转换。

从逻辑的角度来说：

签名表示的界限

有 5 位，因此有 32 种不同的组合。这意味着你可以用 5 位组成 32 个不同的数字。对于无符号整数，将 0 到 31（含）的整数存储在 5 位上是有意义的。

然而，这是关于无符号整数。意思是：我们也必须找到一种表示负数的方法。含义：我们必须存储数字的值，还有它的符号（+或-）。使用的表示形式是 2 的补码，并且它是到处都可以学到的表示形式（也许存在其他形式，但我不知道它们）。在此表示中，符号由第一位给出。也就是说，在 2 的补码表示中，正数以 0 开头，负数以 1 开头。

那么问题来了：0是正数还是负数？不可能两者兼而有之，因为这意味着对于给定的数字 a 位，0 可以用两种方式表示（对于 5：00000 和 10000），也就是说，我们失去了再放置一个数字的空间。我不知道他们是怎么决定的，但事实是 0 是一个正数。对于任何位数（有符号或无符号），0 仅用 0 表示。

伟大的。这为我们提供了第一个问题的答案：以 2 的补码表示的十进制数的上限是多少？我们知道第一位是符号，所以我们能表示的所有数字都必须由4位组成。我们可以有 16 个不同的 4 位字符串值，0 就是其中之一，所以上限是 15。

现在，对于负数，这变得很容易。我们已经在 5 位上可以生成 32 个值中填充了 16 个值。还剩 16 个。我们还知道 0 已经被表示了，所以我们不需要包含它。然后我们从 0 之前的数字开始：-1。由于我们有 16 个数字要表示，从 -1 开始，我们可以用 5 位表示的最低有符号整数是 -16。

更一般地，与n我们可以表示的位2^n数字。对于有符号整数，一半是正数，一半是负数。也就是说，我们有2^(n-1)正数和2^(n-1)负数。我们知道 0 被认为是正数，是我们可以表示的最大有符号整数n位是2^(n-1) - 1最低的是-2^(n-1)

2的补码表示

现在我们知道哪些数字可以用 5 位表示，问题是我们如何表示它们。

我们已经看到符号表示在第一位，并且 0 被视为正数。对于正数，它的工作方式与无符号整数相同：00000 是 0，00001 是 1，00010 是 2，等等，直到 01111，即 15。这是我们停止正符号整数的地方，因为我们已经占用了所有我们有 16 个价值观。

对于负符号整数，这是不同的。如果我们保持相同的表示（10001 是 -1，10010 是 -2，...），那么我们最终会得到 11111 为 -15，而 10000 则不被归属。我们可以决定说它是 -16，但每次使用负整数时，我们都必须检查这种特殊情况。另外，这会扰乱所有的二进制运算。我们还可以决定 10000 是 -1、10001 是 -2、10010 是 -3 等等。但这也会弄乱所有的二进制运算。

2 的补码按以下方式工作。假设您有符号整数 10011，您想知道小数是什么。

1. 翻转所有位：10011 --> 01100
2. 添加 1：01100 --> 01101
3. 将其读取为无符号整数：01101 = 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 13。

10011代表-13。这种表示法非常方便，因为它是双向的。如何将 -7 表示为二进制有符号整数？从 7 的二进制表示形式 00111 开始。

1. 翻转所有位：00111 --> 11000
2. 添加 1：11000 --> 11001

就是这样！在 5 位上，-7 由 11001 表示。

我不会介绍它，但 2 的补码的另一个巨大优点是加法的工作方式相同。也就是说，当两个二进制数相加时，您不必关心它们是有符号还是无符号，这与后面的算法相同。

有了这个，你应该能够回答问题，但更重要的是理解答案。

这个主题非常适合理解 2 的补码：为什么用补码来表示负数？