fftw c2c：转换后的真实数据中缺少对称性

最近我遇到了一些关于fftw的使用及其c2c转换的问题（参见：3d c2c fft 与 fftw 库 https://stackoverflow.com/questions/10374656/3d-c2c-fft-with-fftw-library）。当我在使用 fftw lib 时发现问题时，我创建了一个新问题，以便以更具体的方式讨论这种情况。 由于我正在使用真实数据进行复杂到复杂的变换，因此傅里叶空间中的变换数据应该是对称的： F[n] = con(F[N-n])

现在，我对小块测试数据进行了一些转换，以检查转换后的数据的对称性。对于一维变换，每件事都按预期工作，但对于更高的维度，我得到了真正意想不到的结果。

我在用fftwf_plan_dft_2d将 8x8 灰度图像变换到傅立叶空间，复数结果由下式给出：

n 
0 real 7971 imag 0 
1 real -437.279 imag -802.151 
2 real -289 imag -566 
3 real -182.721 imag 15.8486 
4 real 31 imag 0 
5 real -182.721 imag -15.8486 
6 real -289 imag 566 
7 real -437.279 imag 802.151 
8 real -1499.79 imag -315.233 
9 real 182.693 imag -74.5563 
10 real 55.9239 imag -12.8234 
11 real -84.7868 imag -9.10052 
12 real -14.4264 imag 211.208 
13 real 289.698 imag 214.723 
14 real 452.659 imag -246.279 
15 real 1136.35 imag -763.85 
16 real 409 imag -134 
17 real -141.865 imag 42.6396 
18 real -33 imag 122 
19 real 129.075 imag -49.7868 
20 real 1 imag -150 
21 real 109.865 imag -84.6396 
22 real 95 imag -142 
23 real -841.075 imag -92.2132 
24 real -108.207 imag -89.2325 
25 real -127.213 imag 28.8995 
26 real -36.6589 imag -8.27922 
27 real -74.6934 imag 43.4437 
28 real 70.4264 imag 29.2082 
29 real -88.3545 imag -81.8499 
30 real -127.924 imag -190.823 
31 real 230.302 imag 8.7229 
32 real -53 imag 0 
33 real -73.1127 imag -22.8578 
34 real -85 imag -82 
35 real -10.8873 imag 51.1421 
36 real -65 imag 0 
37 real -10.8873 imag -51.1421 
38 real -85 imag 82 
39 real -73.1127 imag 22.8578 
40 real -108.207 imag 89.2325 
41 real 230.302 imag -8.7229 
42 real -127.924 imag 190.823 
43 real -88.3545 imag 81.8499 
44 real 70.4264 imag -29.2082 
45 real -74.6934 imag -43.4437 
46 real -36.6589 imag 8.27922 
47 real -127.213 imag -28.8995 
48 real 409 imag 134 
49 real -841.075 imag 92.2132 
50 real 95 imag 142 
51 real 109.865 imag 84.6396 
52 real 1 imag 150 
53 real 129.075 imag 49.7868 
54 real -33 imag -122 
55 real -141.865 imag -42.6396 
56 real -1499.79 imag 315.233 
57 real 1136.35 imag 763.85 
58 real 452.659 imag 246.279 
59 real 289.698 imag -214.723 
60 real -14.4264 imag -211.208 
61 real -84.7868 imag 9.10052 
62 real 55.9239 imag 12.8234 
63 real 182.693 imag 74.5563

很抱歉这么长的数据列表，但它显示了我的问题。

例如对于F[3]=-182.721 + 15.8486i我期望F[64-3] = F[61] = -182.721 - 15.8486i，但正如你所看到的-84.7868 + 9.10052i。相反，共轭F[3]位于索引 5。其他对也是如此。

如果有系统我找不到它。

这是完整的代码：

QImage image("/Users/wolle/Desktop/wolf.png");
int w = image.width();
int h = image.height();
int size  = w * h;

cl_float *rawImage = imageToRaw(image); // converts a QImage into an rgb array [0..255]

fftwf_complex *complexImage = (fftwf_complex*) fftwf_malloc(sizeof(fftwf_complex) * size);
fftwf_complex *freqBuffer = (fftwf_complex*) fftwf_malloc(sizeof(fftwf_complex) * size);

// real data to complex data
for (int i = 0; i < size; i++)
{
    complexImage[i][0] = (float)rawImage[i];
    complexImage[i][1] = 0.0f;
}

fftwf_plan forward = fftwf_plan_dft_2d(w, h, complexImage, freqBuffer, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);

fftwf_execute(forward);

for (int y = 0; y < h; y++)
{
    for (int x = 0; x < w; x++)
    {
        int gid = y * w + x;
        qDebug() << gid  << "real" << freqBuffer[gid][0] << "imag" << freqBuffer[gid][1];
    }
}

我希望得到一些帮助。 :-D

问候

Wolf

对于 2D 傅立叶变换，当 x 为实数时，FFT(x) 仍然是共轭对称的。但这是二维的。因此索引 16*x+y 处的 (x,y) 元素应该是索引 16*(16-x mod 16)+(16-y mod 16) 处的 (16-x,16-y) 元素的共轭，当 y 不为 0 时，为 272-16*x-y mod 256。

但我认为虽然你说的是 16x16，但实际上你的意思是 8x8。因此，8*x+y 处的 (x,y) 与 8*(8-x mod 8) + (8-y mod 8) 处的 (8-x,8-y) 共轭。

特别是，例如，当 x=0 时，共轭元素是 y 和 8-y——例如，包括 3 和 5，正如您所发现的。

（当 x=0 或 y=0 时，上面的“8-y mod 8”表示 0。）