简介
光学系统性能的衡量方法有很多，常见的有点扩散函数法、瑞利判断法、点列图法、光学传递函数(MTF)法等，其中MTF法在光学系统和镜头加工制造中使用最为广泛。MTF曲线真实的反映了成像系统将物方信息传递到像方的能力。MTF曲线的横坐标一般是cycle/mm或者linepair/mm
[1][11]，纵坐标是反映对比度传递特性的像/物方调制度的比值。
MTF的计算方法有很多，比如使用条形目标的方法、随机目标方法、点扩散函数法、带宽受限激光散斑法
[2]、倾斜边缘法(Slanted Edge Method)等，其中点扩散函数法和倾斜边缘法是工业界普遍使用的方法。点扩散函数法的的缺点在于需要使用小于光学系统或镜头分辨极限的点光源，这样使得成像器件很难获得足够强的信号。
图1 倾斜的边缘(Slanted Edge)
倾斜边缘法的算法流程如图2：首先获取倾斜边缘的边缘扩散函数(ESF)，然后求导得到对应的线扩散函数(LSF)，最后傅里叶变换得到MTF。
图2 算法流程图
公式推导[3]
倾斜边缘的响应函数可以由一个冲激函数表示：
当边缘响应函数由完善的(没有像差)的光学系统成像时，系统的成像质量不会被劣化。因此边缘函数被线性不变的光学系统成像时，系统的输出O(
x)等于线传递函数LSF与系统的响应函数S(
x)的卷积：
当
x-
α<0时，阶跃函数S(
x)=0，其他情况下S(
x)=1，所以ESF(
x)可以表示为：
因此，ESF(
x)的导数可以写为：
所以
可以
将MTF
写作
LSF的
如下
函数：
通常，MTF会对零频率幅值归一化，同时由卷积定义及傅里叶变换理论可以推导得出级联系统的MTF：
影响因素
>>倾斜角度<<
需要注意的是，边缘倾斜的角度对计算的结果有一定的影响。
一般来说，倾斜角需要控制在2°-10°之间，当角度超出这个范围时，计算的结果会出现比较大的偏差
[4][5][6]。
图3 倾斜角度对MTF计算结果的影响
图4 倾斜角度对MTF50计算结果的影响
当倾斜角度比较大时，可以取样相邻的多行/列的数据进行计算，这种方法其实就是过采样(oversampling)校正。ISO 12233建议4倍的过采样(获取邻近的4行/列线条的ESF)
[4]。
>>对比度<<
在没有噪声，并且边缘对比度足够高(>20%)的情况下，对比度对计算几乎没有影响
[5]。当边缘对比度低于20%时，计算结果将出现大的偏差
[6]。
>>数据限幅(data clippig)<<
如图5所示，当相机的曝光时间或者增益偏大时，会导致边缘扩散函数的上升沿呈"直线状"或者顶部变得十分平坦。这种情况下，计算的MTF都会出现极大的偏差。
使用算法、软件对图像去噪或者增强对比度都可能使"数据限幅"，因此必须谨慎的使用图像增强处理。
图5 数据限幅(或图像增强过度)时的边缘扩散函数
Imatest VS sfrmat3 VS Imagej(SE_MTF
)
Imatest master是
一款用于检测数字相机、摄像机、工业相机拍摄的图像质量及交流检测结果的商业软件。Imatest包含多个模块，如①SFRplus，可以与SFRplus测试卡配合使用，检测MTF，横向色差，畸变，阶调响应和颜色还原。②SFR， 配合测试卡，可检测相机和镜头的锐度，噪音，色差。 ③MTF Compare，使用SFR的结果比较不同相机、镜头和影像系统的MTF性能。④Stepchart，配合灰阶测试卡检测相机的阶调响应，噪音，动态范围，还可用于检测曝光的准确性，镜头眩光。 ⑤Distortion，检测镜头的畸变，使用可打印的正方形和矩形网格计算矫正系数。⑥Test Charts，可以生成图像文件用打于打印测试图。生成的测试卡包括SFR斜边图像，星形测试图，各种频率和反差的图样。可选项包括：反差，高光色彩，正弦线和条纹模式。可输出位图或 可绽放矢量图 (SVG)
[7]。
sfrmat3是Peter D. Burns编写的用于评估数字相机与扫描仪的成像空间频率响应(Spatial Frequency Response)的Matlab程序。sfrmat3遵循 ISO 12233的标准，使用倾斜边缘计算图像的空间频率响应
[8]。
ImageJ是由National Institutes of Health开发的，基于java的公共的图像处理软件。ImageJ被设计为一个开放的架构，可以通过java插件与可读的宏来扩展功能。因为本身是插件架构、并内建了开发环境，因此ImageJ已经成为一个十分受欢迎的图像处理教学平台
[9]。ImageJ有一个使用倾斜边缘方法计算MTF的插件SE_MTF，它需要从左边是黑色、右边是白色竖直倾斜边缘获取ESF，否则图像需要旋转90°。
图6 插件SE_MTF需要的竖直倾斜边缘
现在分别使用Imatest、sfrmat3与Imagej(SE_MTF)计算测试图的MTF，并比较它们的异同。
下面是Imatest的操作步骤：②、③方框里的按钮分别用于调节所选ROI区域的位置及形状，⑤处选择需要绘制的曲线，并填写相机像素尺寸信息：已知我们的CMOS相机的像素尺寸是1.67um，光学系统的放大率是5.5倍，为了得到可物方空间频率响应，此处填写的像素尺寸为1.67/5.5=0.3um。⑥处勾选后可以保存MTF的详细数据。重复上述步骤可以获取水平倾斜边缘的MTF曲线及数据。
sfrmat3的使用非常简单，其中相机的像素尺寸是0.0003mm。重复两次步骤可以得到竖直方向、水平方向的MTF曲线及数据。
如图，在ImageJ(SE_MTF) 的Plugins菜单下找到SE MTF 2xNyquist，填写相应的参数即可得到MTF(在MTF曲线窗口中点击Save可以保存数据)。为了得到水平倾斜边缘的MTF，需要将图像旋转90°并重复前面的步骤。
将前面保存的数据全部复制到EXCEL里，并绘制数据曲线，结果如下：
由上图可以看出：
①ImageJ插件与sfrmat3的计算结果十分接近；
②Imatest在两个方向(竖直方向、水平方向)的计算结果比前两者都偏高；
③三个软件/程序对不同方向的计算结果的相对关系是一致的；如167lp/mm处，水平方向的结果都大于竖直方向的结果。
测试装置
内容：
√0、MTF的理论推导
√重采样，避免混叠
1、实验框图
√2、边缘强度曲线怎样最好？
3、光源的特性(如发散角、强度等)对结果的影响？“一致性”对测试条件的要求有哪些？
√4、倾斜角度对结果的影响？（参考Imatest的文章）
5、Imatest/ImageJ/Sfrmat3结果对比
参考文献
[1] Resolution measurement and its units
[2]
Sensor modulation transfer function measurement using band-limited laser speckle
[3]
Calculating the modulation transfer function of an optical imaging system incorporating a digital camera from slanted-edge images captured under variable illumination levels_Fourier transforms application using MATLAB
[4]
How to Measure Modulation Transfer Function (6)
[5] A Study of Slanted-Edge MTF Stability and Repeatability
[6] sfrmat2_guide.pdf
[7]
Imatest Master 图像分析与检测软件
[8]
sfrmat3: SFR evaluation for digital cameras and scanners
[9]
ImageJ
[10]
ImageJ Plugin:Slanted Edge MTF---SE_MTF
[11]
The Units of Spatial Resolution
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