前段时间准备考研，对数据结构做了一个简略的知识点总结，知识针对考研所用到的数据结构，下面是树的章节由于篇幅太多，将有关树的知识点分开发表，对B树和B+树没有深入了解，所以就没有总结出来。
这篇文章就先写到线索二叉树吧。
【知识点】树
（一）树有关结点、度、高度的计算题
（二）二叉树的遍历
（三）线索二叉树
（四）哈夫曼树
（五） 堆排序
（六）最佳归并树、败者树
（七）折半查找
（八）二叉排序树和平衡二叉树
二叉树性质：
高度为h≥0的二叉树至少有h+1个结点；
高度为h≥0的二叉树至多有2h+1-1个结点；
约定空二叉树的高度为-1；
含有n≥1个结点的二叉树的高度至多为n-1；
完全二叉树性质：n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1≤i≤n)：
如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是i/2(向下取整)；
如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2i≤n，则其左孩子是2i；
如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果2i+1≤n，则其右孩子是2i+1；
（一）树有关结点、度、高度的计算题
解：设叶子节点数为:N0,度为1的结点数:N1,度为2的结点数:N2,度为3的结点数:N3;
总结点个数=N0+N1+N2+N3
总分支数=N1+2*N2+3*N3
总结点数-1=总分支数（因为除了根节点之外，每一个节点都有唯一一个只想该节点的分支）
解：(总结点数-1)n0+n1+n2+n3+n4-1=n1+2*n2+3*n3+4*n4(总分支数)->n0=n2+2*n3+3*n4+1=2+2*1+3*1+1=8
证明：总结点数=M+N1+N2(叶子节点+度为1的结点(N1)+度为2的结点)
总分支数=N1+2*N2
总分支数=总结点数-1（因为除了根结点，每一个结点都有唯一只想该结点的分支）
M+N1+N2-1=N1+2N——>M-1=N
公式：即计算Catalan数，给定n个结点能构成h(n)=C(2n,n)/(n+1)种形态。（其中C（2n,n）是指以2n为底）。n=3,h(n)=C(6,2)/(3+1)=[（6*5*4）/（3*2*1）]/4=5
解：此题分两种情况：
（1）有单分支结点，分支总数=n1+2*n2，分支总数=结点总数-1=1000=n1+2*n2,因为是完全二叉树，故如果有单分支结点，也只能有一个，所以就有：1+2*n2=1000,解得n2非整数，所以没有单分支结点。
（2）无单分支结点，分支总数=2*2n=1001(总结点数)-1=1000，解得n2=500,叶子节点数=2度结点数+1=501
解：高度为n的树最多有2ⁿ -1个节点，完全二叉树高度为4，则前三层是满二叉树，2³-1个结点。则该完全二叉树至少有（2³-1）+1个结点。
10、一棵高度为5的完全二叉树最多有 31 个结点。（2的5次幂-1=31）。
11、假设高度为h的二叉树上只有0度和2度结点，此类二叉树的结点至少为 2h-1 个。
解答：如下图，除了第一层只有一个根节点，其余h-1层都有两个节点，则这样的二叉树最少有2(h-1)+1=2h-1个
12、在一棵三叉树中，3度的结点个数为2，2度的结点个数为1，1度的结点个数为2，则0度的结点个数为 8 。（n0+n1+n2+n3-1=n1+2*n2+3*n3-->n0=8）
13、哈夫曼二叉树中只有度为0和度为2的结点，有n个叶子结点的哈夫曼树的节点总数为 2n-1个。（叶子结点数=n2+1=n,n2=n-1,节点总数=n0+n2=n+n-1=2n-1）
14、一棵具有1025个结点的二叉树高度h的范围是 11~1025
解：当一棵二叉树每层只有一个结点时，高度最高为1025，而当这颗二叉树为完全二叉树时最矮，
h=㏒(1025+1）=11 （而且是向上取整）2的10次方是1024。
解：
①最多的情况：第七层已满，树共有八层
第七层的结点个数为：2^（7-1）=64个结点，
10个叶结点在第八层上：64-10=54（第七层不是叶结点的节点个数），
第八层的节点个数为：54*2=108个，
前七层的节点总数为：2^7-1=127，
则整棵二叉树的结点为：128+108=235个（前七层的结点总数+第八层的结点数）。
②最少的情况：树共有七层，六层已满
前六层的结点总数：2^6-1=63个
第七层叶结点总数：10个
总数：63+10=73个
（二）二叉树的遍历
1、中缀表达式转化为后缀表达式
如一个表达式:(a-(b+c))*(d/e)
二叉树表达式 分成了两个部分
则后序遍历得：abe+-de/*
前序遍历：A,B,C,D,E,F,G,H 中序遍历：C,B,E,D,F,A,H,G 后序遍历：C,E,F,D,B,H,G,A
三种遍历方法对相应上图中p经过每个节点的不同次数时对其进行输出的结果，如上图p沿着路线依次经过3号的结点次序就是后序遍历后的节点序列。
注：①已知前序遍历序列+中序遍历序列，可以确定一棵树，先由前序遍历找到根节点，再由中序确定左右子树。
②已知中序遍历序列+后序遍历序列，可以确定一棵树，先由后序遍历确定根节点，再由中序确定左右子树。
③已知前序遍历+后序遍历，不可以确定一棵树，都只能先确定根，但左右子树可以有两种表示方式。
·先序遍历：
·中序遍历
·后序遍历
·层次遍历
层次遍历需要建立一个循环队列，先将二叉树的头节点入队，然后出队，访问该节点，如果队列不空，则循环访问其左右子树，如果有左子树，则将左子树根节点入队，如果有右子树，将右子树根节点入队，然后出队。
（三）线索二叉树
线索二叉树的结构：
| lchild | ltag | data | rtag | rchild |
1、后继线索二叉树中寻找结点node的前驱和后继。
前驱：根据后序的特点，查找前驱是一个自顶向下的过程，即当右子树标记为0时，说明 node有右子树，此时node的前驱就是右儿子，否则就是它的左孩子。
prior(node,x){
if(node != null){
if(!node->rthread)//有右子树，则node的前驱时右子树
*x = node->right;
else
*x = node->left;//没有右子树，则node的前驱时左子树
}
}
后继：查找后继是一个自底向上的过程，与查找前驱不同的是，访问到node结点时，后继 还没办法访问，所以将查找node的后继*x的问题转换为查找*x的前驱的问题，即从 根节点开始，不断查找x的前驱，直到x的前驱为node时，x则为node的后继了。
next(bt,node,x){
*x=bt;
if(bt != 0 && node != null){
if(node->rthread)//node没有右子树，则node->right指向的是node的后继
*x = node->right;//此时x可以直接等于node的后继
else{
do{
t=*x;
prior(t,x);//不断找x的前驱
}while(*x != node)//直到x的前驱是node，此时x就是弄得的后继
*x = t;
}
}
}
