在 Z3 中证明归纳事实

我试图在 Microsoft 的 SMT 求解器 Z3 中证明一个归纳事实。我知道 Z3 一般不提供此功能，如Z3 guide http://rise4fun.com/z3/tutorial/guide（第 8 节：数据类型），但是当我们限制要证明事实的域时，这似乎是可能的。考虑以下示例：

(declare-fun p (Int) Bool)
(assert (p 0))

(assert (forall ((x Int)) 
    (=> 
    (and (> x 0) (<= x 20))
    (= (p (- x 1)) (p x) ))))
(assert (not (p 20)))

(check-sat)

求解器正确响应unsat， 意思就是(p 20)已验证。问题是，当我们进一步放松这个约束时（我们替换20在前面的示例中，任何大于 20 的整数），求解器都会响应unknown.

我觉得这很奇怪，因为 Z3 不需要很长时间就能解决原来的问题，但是当我们将上限增加 1 时，它突然变得不可能了。我尝试向量词添加模式，如下所示：

(declare-fun p (Int) Bool)
(assert (p 0))

(assert (forall ((x Int)) 
    (! (=> 
    (and (> x 0) (<= x 40))
    (= (p (- x 1)) (p x) )) :pattern ((<= x 40)))))
(assert (not (p 40)))

(check-sat)

哪个似乎效果更好，但现在上限是 40。这是否意味着我最好不要使用 Z3 来证明这些事实，或者我是否错误地表述了我的问题？

Z3 使用许多启发式方法来控制量词实例化。其中之一是基于“实例化深度”的。 Z3 用“深度”属性标记每个表达式。所有用户提供的断言都标记为深度 0。实例化量词时，新表达式的深度会增加。 Z3 不会使用深度大于预定义阈值标记的表达式来实例化量词。在您的问题中，达到了阈值：(p 40)深度为0，(p 39)是深度1，(p 38)是深度 2，等等。

要增加阈值，您应该使用以下选项：

(set-option :qi-eager-threshold 100)

以下是使用此选项的示例：http://rise4fun.com/Z3/ZdxO http://rise4fun.com/Z3/ZdxO.

当然，使用这个设置，Z3会超时，例如(p 110).

未来Z3将对“有界量化”有更好的支持。在大多数情况下，处理此类量词的最佳方法是对其进行扩展。 通过编程 API，我们可以在将表达式发送到 Z3 之前轻松“实例化”它们。 这是 Python 中的一个示例（http://rise4fun.com/Z3Py/44lE http://rise4fun.com/Z3Py/44lE):

p = Function('p', IntSort(), BoolSort())

s = Solver()

s.add(p(0))
s.add([ p(x+1) == p(x) for x in range(40)])
s.add(Not(p(40)))

print s.check()

最后，在Z3中，包含算术符号的模式并不是很有效。问题是Z3在求解之前对公式进行了预处理。那么，大多数包含算术符号的模式将永远不会匹配。有关如何有效使用模式/触发器的更多信息，请参阅本文 http://research.microsoft.com/en-us/um/people/moskal/pdf/prtrig.pdf。作者还提供了一个幻灯片 http://research.microsoft.com/en-us/um/people/moskal/pdf/prtrig-slides.pdf.