要求的行为
我想用 python 求解非方矩阵。该矩阵具有两个线性相关向量。
当前状态
我尝试使用numpy.linalg.solve()首先，但这仅适用于方阵。
其他推荐使用的 StackOverflow 帖子numpy.linalg.lstsq().
issue
但是，我不明白如何实施numpy.linalg.lstsq()正确。该函数正确求解最后一个参数，但不能正确求解其他参数。一篇文章推荐这个解决方案 https://andreask.cs.illinois.edu/cs357-s15/public/demos/06-qr-applications/Solving%20Least-Squares%20Problems.html我也不明白。
我必须以某种方式实现循环吗？
有人可以给我提供一个代码示例吗？这个矩阵怎么解 使用Python有问题吗？
我当前的代码
import numpy as np
# defining a linear equation system E=F with
# | -2 * x1 - 4 * x2 + 1 * x3 - 9 * x4 + 0 * x5 = +5 |
# | 3 * x1 + 6 * x2 + 0 * x3 + 12 * x4 + 3 * x5 = +15 |
# | 1 * x1 + 2 * x2 + 1 * x3 + 3 * x4 + 1 * x5 = -17 |
# | -5 * x1 - 4 * x2 + 1 * x3 - 9 * x4 + 0 * x5 = +14 |
E=np.array(
[
[-2,-4,1,-9,0],
[3,6,0,12,3],
[1,2,1,3,1],
[-5,-10,3,-23,1]
]
)
F=np.array(
[3,15,-17,14]
)
solutionNonSquare = np.linalg.lstsq(E, F)
print('the solution vector is: {x1, x2, x3, x4, x5}=')
print(solutionNonSquare)Written Matrix solution
这是一个欠定方程组。这意味着有很多解决方案，并且不存在“唯一”解决方案。事实上，高斯消除法和lstsq给出不同的解决方案并不意味着有什么问题。
让我们生成并检查各种解决方案：
import scipy.linalg as sla
E_null = sla.null_space(E)
def check_solution(coeffs):
x = solutionNonSquare[0] + E_null @ coeffs
check = E @ x - F
with np.printoptions(precision=2, suppress=True):
print('x = {}'.format(x))
with np.printoptions(precision=5, suppress=True):
print('E . x - F = {}'.format(check))
print('|x| = {}'.format(np.linalg.norm(x)))
我们可以检查产生的最小范数解lstsq:
>>> check_solution([0, 0])
x = [ -4.35 -8.69 -19.69 2.31 17.5 ]
E . x - F = [ 0. -0. -0. 0.]
|x| = 28.174593028253167
我们可以生成和测试许多其他解决方案
>>> check_solution(100 * np.random.randn(2))
x = [ -88.93 -139.06 66.64 88.64 17.5 ]
E . x - F = [ 0. 0. -0. 0.]
|x| = 199.62363490542995
>>> check_solution(100 * np.random.randn(2))
x = [-25.2 -26.99 -5.33 16.67 17.5 ]
E . x - F = [ 0. -0. -0. 0.]
|x| = 44.455362582961335
>>> check_solution(100 * np.random.randn(2))
x = [ 93.34 14.57 -55.74 -33.74 17.5 ]
E . x - F = [ 0. -0. -0. -0.]
|x| = 116.09338153741933
我们甚至可以看看您的解决方案：
>>> my_favourite_solution = np.array([-12.5, 0, -22, 0, 17.5 ])
>>> my_favourite_coeffs = my_favourite_solution @ E_null
>>> check_solution(my_favourite_coeffs)
x = [-12.5 0. -22. -0. 17.5]
E . x - F = [ 0. -0. -0. 0.]
|x| = 30.765240125830324