矩阵范数的等价
设
F=R
F
=
R
或
C,
C
,
对于任意两个
Fn×n
F
n
×
n
上的范数
∥⋅∥α
‖
⋅
‖
α
与
∥⋅∥β,
‖
⋅
‖
β
,
若存在常数
C1>0,C2>0,
C
1
>
0
,
C
2
>
0
,
使得
∀X∈Fn×n,
∀
X
∈
F
n
×
n
,
∥X∥α≤C1∥X∥β,∥X∥β≤C2∥X∥α
‖
X
‖
α
≤
C
1
‖
X
‖
β
,
‖
X
‖
β
≤
C
2
‖
X
‖
α
则称
∥⋅∥α
‖
⋅
‖
α
与
∥⋅∥β
‖
⋅
‖
β
是等价的。
性质
Fn×n
F
n
×
n
上的任意两种矩阵范数都是等价的。
证明
令
Eij∈Fn×n
E
i
j
∈
F
n
×
n
表示只有在第
i
i
行第 j 列的元素为
1,
1
,
其他元素都为
0
0
的矩阵。
则 ∀X∈Fn×n,X=(xij)n×n=∑i=1n∑j=1nxijEij
1. 首先证明对于任意一个
Fn×n
F
n
×
n
上的范数
∥⋅∥,
‖
⋅
‖
,
函数
φ:Fn×n↦R,φ(X)=∥X∥
φ
:
F
n
×
n
↦
R
,
φ
(
X
)
=
‖
X
‖
在
L2
L
2
范数下是连续的。
对于任意一个
Fn×n
F
n
×
n
上的范数
∥⋅∥,∀X,Y∈Fn×n,
‖
⋅
‖
,
∀
X
,
Y
∈
F
n
×
n
,
|φ(X)−φ(Y)|=|∥X∥−∥Y∥|≤∥X−Y∥
|
φ
(
X
)
−
φ
(
Y
)
|
=
|
‖
X
‖
−
‖
Y
‖
|
≤
‖
X
−
Y
‖
=∥∑i=1n∑j=1nxijEij−∑i=1n∑j=1nyijEij∥
=
‖
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
x
i
j
E
i
j
−
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
y
i
j
E
i
j
‖
=∥∑i=1n∑j=1n(xij−yij)Eij∥
=
‖
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
x
i
j
−
y
i
j
)
E
i
j
‖
≤∑i=1n∑j=1n∥(xij−yij)Eij∥
≤
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
‖
(
x
i
j
−
y
i
j
)
E
i
j
‖
=∑i=1n∑j=1n|xij−yij|∥Eij∥
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
|
x
i
j
−
y
i
j
|
‖
E
i
j
‖
→0,X→Y
→
0
,
X
→
Y
因此
φ(X)
φ
(
X
)
是连续函数。
2. 于是
φ(Y;α)=∥Y∥α
φ
(
Y
;
α
)
=
‖
Y
‖
α
在有界闭集
S={Y∈Fn×n:∥Y∥2=1}
S
=
{
Y
∈
F
n
×
n
:
‖
Y
‖
2
=
1
}
上连续,又
φ(Y;α)
φ
(
Y
;
α
)
在
S
S
恒大于零,因此在 S 内必有最大值
Cmax>0,
C
max
>
0
,
最小值
Cmin>0,
C
min
>
0
,
同理可得
φ(Y;β)=∥Y∥β
φ
(
Y
;
β
)
=
‖
Y
‖
β
在
S
S
内必有最大值 Dmax>0, 最小值
Dmin>0,
D
min
>
0
,
3.
∀X∈Fn×n,
∀
X
∈
F
n
×
n
,
若
X=0,
X
=
0
,
则命题显然成立。
否则
X≠0,
X
≠
0
,
令
Y=1∥X∥2X,
Y
=
1
‖
X
‖
2
X
,
则
∥Y∥2=1,
‖
Y
‖
2
=
1
,
因此
Y∈S,
Y
∈
S
,
于是
∥X∥β∥X∥α=∥Y∥β∥Y∥α∥X∥2∥X∥2
‖
X
‖
β
‖
X
‖
α
=
‖
Y
‖
β
‖
Y
‖
α
‖
X
‖
2
‖
X
‖
2
=φ(Y;α)φ(Y;β)∈[DminCmax,DmaxCmin]
=
φ
(
Y
;
α
)
φ
(
Y
;
β
)
∈
[
D
min
C
max
,
D
max
C
min
]
。
令
C1=DminCmax,C2=DmaxCmin,
C
1
=
D
min
C
max
,
C
2
=
D
max
C
min
,
则:
0<C1≤∥X∥β∥X∥α≤C2
0
<
C
1
≤
‖
X
‖
β
‖
X
‖
α
≤
C
2
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