世界坐标系、相机坐标系和图像坐标系的转换

坐标系转换

之前只是停留在会用的阶段，一直没去读懂计算的原理，今天通读了大佬的文章，写的言简意赅，感谢感谢~~特此记录一下，仅用作个人笔记

贴链接，十分感谢~
https://blog.csdn.net/weixin_44278406/article/details/112986651
https://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/104184551

四个不同类型的坐标系

将三维物体转换成照片上的二维坐标，由四个坐标系进行转换。

1. 世界坐标系

世界坐标系是一个特殊坐标系，它建立了描述其他坐标系需要的参考框架。能够用世界坐标系描述其他坐标系的位置，而不能用更大的、外部的坐标系描述世界坐标系。从非技术意义上讲，世界坐标系建立的是我们所关心的最大坐标系，而不必真的是整个世界。
用 ( X w ， Y w ， Z w ) (X_w，Y_w，Z_w) (Xw​，Yw​，Zw​)来表示，世界坐标系可通过旋转和平移得到相机坐标系。

2. 相机坐标系

以相机透镜的几何中心（光心）为原点，坐标系满足右手法则，用 ( X c ， Y c ， Z c ) (X_c，Y_c，Z_c) (Xc​，Yc​，Zc​)来表示；相机光轴为坐标系的Z轴，X轴水平，Y轴竖直。

3. 图像物理坐标系

以CCD图像的中心为原点，坐标由 ( x , y ) (x, y) (x,y) 表示，图像坐标系的单位，一般是毫米，坐标原点为相机光轴与成像平面的交点（一般情况下，这个交点是接近于图像的正中心）

CCD，英文全称：Charge coupled Device，中文全称：电荷耦合元件，可以称为CCD图像传感器。CCD是一种半导体器件，能够把光学影像转化为数字信号。 CCD上植入的微小光敏物质称作像素（Pixel）。一块CCD上包含的像素数越多，其提供的画面分辨率也就越高。

4. 图像像素坐标系

其实，当我们提及一个图像时，通常指的是图像的像素坐标系。像素坐标系的原点在左上角，并且单位为像素。

将图像坐标系的原点 O 1 O_1 O1​ ，转化到以 O 0 O_0 O0​ 为原点的坐标系中。使用的原因：

• 如果使用图像坐标系，单位mm，其实不太好衡量具体的图像，如果按照统一的像素标准，比较容易衡量图像的质量
• 如果使用图像坐标系，然后就有四个象限，这样会有正负数的问题，但是转换成像素坐标系后，都为整数。在后续的操作和运算中，都简化很多。

坐标转换

针孔模型（The basic pinhole model）。这种模型在数学上是三维空间到二维平面（image plane or focal plane）的中心投影，由一个 3 × 4 3 × 4 3×4 投影矩阵 P = K [ R ∣ t ] P = K [ R | t ] P=K[R∣t]来描述， K K K 为相机内参（internal camera parameters）， [ R ∣ t ] [R|t] [R∣t]为外参（external parameters）。

世界坐标 → 相机坐标（刚性变换）

[ X c Y c Z c 1 ] = [ R t 0 1 ∗ 3 1 ] [ X w Y w Z w 1 ] \begin{bmatrix}X_c \\ Y_c \\ Z_c \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}R & t\\\\ 0_{1*3} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡​Xc​Yc​Zc​1​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​R01∗3​​t1​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Xw​Yw​Zw​1​⎦ ⎤​
X c ， Y c ， Z c X_c，Y_c，Z_c Xc​，Yc​，Zc​代表相机坐标； X w ， Y w ， Z w X_w，Y_w，Z_w Xw​，Yw​，Zw​代表世界坐标；R代表正交单位旋转矩阵，t代表三维平移矢量。
根据旋转角度可以分别得三个方向上的旋转矩阵，而旋转矩阵即为他们的乘积： R = R x ∗ R y ∗ R z R = R_x * R_y * R_z R=Rx​∗Ry​∗Rz​
顺便记录一下三个旋转矩阵的公式，经常忘记。

绕 X X X旋转 θ \theta θ度

[ X c Y c Z c ] = [ 1 0 0 0 c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ ] [ X w Y w Z w ] = R x [ X w Y w Z w ] \begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&cos\theta&sin\theta\\0&-sin\theta&cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix}=R_x\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix} ⎣ ⎡​Xc​Yc​Zc​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​100​0cosθ−sinθ​0sinθcosθ​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Xw​Yw​Zw​​⎦ ⎤​=Rx​⎣ ⎡​Xw​Yw​Zw​​⎦ ⎤​

绕 Y Y Y轴旋转 θ \theta θ度

[ X c Y c Z c ] = [ c o s θ 0 − s i n θ 0 1 0 s i n θ 0 c o s θ ] [ X w Y w Z w ] = R y [ X w Y w Z w ] \begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cos\theta&0&-sin\theta\\0&1&0\\sin\theta&0&cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix}=R_y\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix} ⎣ ⎡​Xc​Yc​Zc​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​cosθ0sinθ​010​−sinθ0cosθ​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Xw​Yw​Zw​​⎦ ⎤​=Ry​⎣ ⎡​Xw​Yw​Zw​​⎦ ⎤​

绕 Z Z Z轴旋转 θ \theta θ度

[ X c Y c Z c ] = [ c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] [ X w Y w Z w ] = R z [ X w Y w Z w ] \begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cos\theta&sin\theta&0\\-sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix}=R_z\begin{bmatrix}X_w\\Y_w\\Z_w\end{bmatrix} ⎣ ⎡​Xc​Yc​Zc​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​cosθ−sinθ0​sinθcosθ0​001​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Xw​Yw​Zw​​⎦ ⎤​=Rz​⎣ ⎡​Xw​Yw​Zw​​⎦ ⎤​

相机坐标 → 图像坐标系（中心投影）

相机坐标系到图像坐标系是透视关系，利用相似三角形进行计算。

写成齐次坐标形式的矩阵相乘为
Z c [ x y 1 ] = [ f 0 0 0 0 f 0 0 0 0 1 0 ] [ X c Y c Z c 1 ] = [ K ∣ 0 ] [ X c Y c Z c 1 ] Zc \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}K|0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_c\\Y_c\\Z_c\\1\end{bmatrix} Zc⎣ ⎡​xy1​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​f00​0f0​001​000​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Xc​Yc​Zc​1​⎦ ⎤​=[K∣0​]⎣ ⎡​Xc​Yc​Zc​1​⎦ ⎤​
其中f代表焦距，即相机坐标系和图像坐标系在Z轴上的差。此时投影点p的单位还是mm，并不是pixel，不方便进行后续运算。

图像坐标系 → 像素坐标系（离散化）

像素坐标系的原点在左上角，并且单位为像素。像素坐标系和图像坐标系都在成像平面上，只是各自的原点和度量单位不一样。图像坐标系的原点为相机光轴与成像平面的交点，通常情况下是成像平面的中点或者叫principal point。图像坐标系的单位是mm，属于物理单位，而像素坐标系的单位是pixel，我们平常描述一个像素点都是几行几列。所以这二者之间的转换如下：其中dx和dy表示每一列和每一行分别代表多少mm，即1pixel=dx mm

Z c [ u v 1 ] = [ 1 d x 0 u 0 0 1 d y v 0 0 0 1 ] [ f 0 0 0 0 f 0 0 0 0 1 0 ] [ R t 0 1 ∗ 3 1 ] [ X w Y w Z w 1 ] Zc \begin{bmatrix}u\\v\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{d_x}&0&u_0\\0&\frac{1}{d_y}&v_0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}R & t\\\\ 0_{1*3} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix} Zc⎣ ⎡​uv1​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​dx​1​00​0dy​1​0​u0​v0​1​⎦ ⎤​⎣ ⎡​f00​0f0​001​000​⎦ ⎤​⎣ ⎡​R01∗3​​t1​⎦ ⎤​⎣ ⎡​Xw​Yw​Zw​1​⎦ ⎤​
其中 [ 1 d x 0 u 0 0 1 d y v 0 0 0 1 ] [ f 0 0 0 0 f 0 0 0 0 1 0 ] \begin{bmatrix}\frac{1}{d_x}&0&u_0\\0&\frac{1}{d_y}&v_0\\0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{bmatrix} ⎣ ⎡​dx​1​00​0dy​1​0​u0​v0​1​⎦ ⎤​⎣ ⎡​f00​0f0​001​000​⎦ ⎤​为相机内参矩阵， [ R t 0 1 ∗ 3 1 ] \begin{bmatrix}R & t\\\\ 0_{1*3} & 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡​R01∗3​​t1​⎦ ⎤​为外参矩阵。相机标定就是为了求解这两个矩阵的参数。