齐次线性方程组和非齐次线性方程组

1. 定义

齐次线性方程组:等式右侧常数项全部为0

非齐次线性方程组: 等式右侧常数项不全部为0

2.齐次方程组的求解

将系数矩阵化为行阶梯形矩阵，记全为0的行数量为r=n-R(A)。

则非零行的首非零元所在列对应的就是约束变量, 其余变量即为自由变量。

将后r个自由变量未知数，每次只有一个取值为1 ，其余为0 ，然后每次分别带入方程计算，对应的形成r个解。这些r个解的线性组合即为基础解系。

3.非齐次方程组的求解

https://jingyan.baidu.com/article/2a138328e4d4bb074a134fcc.html

分为两步：1.计算特解。将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，将r个未知数全部取值为0，得到一个特解。

                  2.计算对应的齐次方程组的基础解系。

4. 方程组有解的判断条件

   齐次方程组：R(A)=n，只有唯一零解

   R(A)<n，有无穷多个解。基础解系中含有的解数量为r=n-R(A)个

   非齐次方程组：R(A)< R(B) ，无解

   R(A)=R(B) ，有解。具体解的情况同齐次方程组。

程序实现：列主消元法

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

const int n = 3;
//交换2个数的大小
template<class T>
void SWAP(T& a, T& b)
{
    T c;
    c = a;
    a = b;

    b = c;
}

//高斯列主元素消元法
void gaussin_L(double a[n][n], double b[n])
{

    int i, j, k;
    int col, row;
    for (k = 0; k < n - 1; k++)
    {
        double ave = 0;
        //找出消元列中最大的那个元素所在的位置
        for (i = k; i < n ; i++)
            if (fabs(a[i][k]) > ave)
            {
                ave = fabs(a[i][k]);
                cout << "ave " << ave << endl;
                row = i;
                col = k;
            }

        //如果该对角线元素是0，同样不能用高斯消元法来求解
        if (a[row][row] == 0)
        {
            cout << "can't solve" << endl;
            return;
        }
        //将找出的行进行交换
        if (k != row)
		{
            for (i = 0; i < n; i++)
            {

                        SWAP(a[row][i], a[k][i]);
            }
			SWAP(b[k], b[row]);
		}
        //消元过程
        double c[n];
        for (j = k + 1; j < n; j++)
        {
            c[j] = a[j][k] / a[k][k];
            cout << c[j] << endl;
        }
        for (i = k + 1; i < n; i++)
        {
            for (j = 1; j < n; j++)
            {
                a[i][j] = a[i][j] - c[i] * a[k][j];
            }
            b[i] = b[i] - c[i] * b[k];
        }

    }

    double x[n];
    x[n - 1] = b[n - 1] / a[n - 1][n - 1];
    for (i = n - 2; i >= 0; i--)
    {

        double sum = 0；
        for (j = i + 1; j < n; j++)
            sum += a[i][j] * x[j];
        x[i] = (b[i] - sum)/a[i][i];
    }
    //打印输出
    for (i = 0; i < n ; i++)
        cout << " x" << "[" << i << "]=" << x[i] << endl;
}

思考：列主消元法仅适用于系数矩阵是方阵，而且必须是满秩？

这个消元的过程不就是最简化行列式的过程吗

齐次坐标

就是增加一个维度。笛卡尔坐标系（x,y）对应的齐次坐标为（wx,wy,w）。可以对应无穷多个齐次坐标，其实就是一个投影的过程。