3维空间中点、线、面之间的数学关系（python代码）

1 面的定义
三维空间中的平面由两个量确定：
① 一个法向量（垂直于该平面的向量）
② 一个已知点（位于该平面上的一个点
2 叉乘和点乘的区别

2.1叉乘的计算方式，叉乘用来得到垂直于两条向量的向量。

2.2点乘的计算方式，内积（点乘）的几何意义包括：表征或计算两个向量之间的夹角，b向量在a向量方向上的投影.

叉乘的结果：向量a×向量b（×为向量叉乘），若结果小于0，表示向量b在向量a的顺时针方向；若结果大于0，表示向量b在向量a的逆时针方向。
二维的叉乘，|向量a×向量b|表示物理意义是平行四边形的面积。

• 面和面的交线
  **1.*面的方程一般式为：Ax+By+Cz+D=0 (参数,A,B,C,D是描述平面空间特征的常数)， 其中（A,B,C)为平面的法向量，D为将已知点带入得到的补偿值。
  2.1求取面与面的交线，已知条件：法向量和已知点
  2.2公式推导：
  平面1：a1x+b1y+c1z+d1=0；平面2：a2x+b2y+c2z+d2=0
  平面法向量;n1=(a1,b1,c1),n2=(a2,b2,c2)
  交线的方向向量n=n1×n2=(b1c2-c1b2,c1a2-a1c2,a1b2-b1a2)
  设直线上任意一点为（x,y,z）
  令x=0,得：
  b1y+c1z+d1=0，b2y+c2z+d2=0,
  即
  y=-(c1z+d1)/b1=-(c2z+d2)/b2
  解得：
  z=-(d1/b1-d2/b2)/(c1/b1-c2/b2)
  y=-c1/b1z-d1/b1
  =c1(d1/b1-d2/b2)/b1/(c1/b1-c2/b2)-d1/b1
  由直线方向向量和一点坐标即可确定该直线。
  3 python代码如下

       #两个面 Axial 和 Coronal ，两个面的法向量为normalAxial和normalCoronal，两个面上的点为positionAxial和positionCoronal
       #对两个面的法向量进行叉乘，得到交线的方向向量
        vectorAC = np.cross(normalAxial, normalCoronal)
        print(vectorAC)
        # axial plane
        a1=normalAxial[0]
        b1=normalAxial[1]
        c1=normalAxial[2]
        d1 = -np.dot(positionAxial,normalAxial)
        # coronal plane
        a2=normalCoronal[0]
        b2=normalCoronal[1]
        c2=normalCoronal[2]
        d2 = -np.dot(positionCoronal,normalCoronal)
        if  normalCoronal[0]!=0 and normalCoronal[1]!=0:
            print("平面旋转计算中")
            # tempz = -(d1 / b1 - d2 / b2) / (a1 / b1 - a2 / b2)
            tempz = -d1
            print("tempz",tempz)
            # tempz = (-a1 / b1) * tempz - d1 / b1
            tempy = -(d2)/b2
            print("tempy,",tempy)
            centerPointACOne= [0,tempy,tempz]
            print("平面旋转计算中01,centerPointACOne",centerPointACOne)
         #由此得到交线的一点，再加上交线的方向向量，可以得到平面的交线方程了。

• 面和线的交点
  我们假设它们的交点为P，
  既然我们有一个平面，那么平面上面的一个点planePoint和平面的planeNormal（垂直于平面的向量）已知。根据3D数学知识，
  （ P − p l a n e P o i n t ) ⋅ p l a n e N o r m a l = 0 （ 公 式 一 ） （P-planePoint) · planeNormal= 0（公式一） （P−planePoint)⋅planeNormal=0（公式一）
  既然垂直，那么它们点乘肯定为
  对于这条直线，我们肯定知道直线上面的某一点linePoint和直线的方向lineVector，那么
  P = l i n e P o i n t + d ∗ l i n e V e c t o r （ 公 式 二 ） P = linePoint+ d*lineVector（公式二） P=linePoint+d∗lineVector（公式二）
  d是距离。把公式二代入公式一，
  我们可以得到如下：
  （ l i n e P o i n t + d ∗ l i n e V e c t o r − p l a n e P o i n t ） ∗ p l a n e N o r m a l = 0 （linePoint+ d*lineVector-planePoint）*planeNormal= 0 （linePoint+d∗lineVector−planePoint）∗planeNormal=0
  由此得到
  d ∗ l i n e V e c t o r ∗ p l a n e N o r m a l + ( l i n e P o i n t − p l a n e P o i n t ) ∗ p l a n e N o r m a l = 0 d*lineVector*planeNormal+ (linePoint- planePoint)*planeNormal= 0 d∗lineVector∗planeNormal+(linePoint−planePoint)∗planeNormal=0
  这样我们可以求出d值，然后我们就可以通过公式二求出P啦！