TOPSIS的介绍

• 利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

• 层次分析法的局限性

  • 评价的决策层不能太多，否则n很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大 （平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15）。

TOPSIS步骤

1.将原始矩阵正向化 ( 指标正向化 )

• 将所有的指标类型统一转化为某个相同的指标。
  • 常用:将所有的指标转化为极大型
• 注意：正向化的公式不唯一，也可以结合自己的数据进行适当修改

常见的四种指标

• 极大型指标（效益型指标）：越高（大）越好。
  • 如：成绩指标、GDP增速、企业利润
• 极小型指标（成本型指标）：越少（越小）越好
  • 如：费用、坏品率、污染程度
• 中间型指标：越接近某个值越好
  • 如：水质量评估时的PH值
• 区间型指标：落在某个区间最好
  • 如：体温、水中植物性营养物量

极小型指标 ⇒ 极大型指标

• 公式①：max-x（√ 推荐使用）
• 公式②：1/x（要求所有的元素均为正数）

中间型指标 ⇒ 极大型指标

• 公式：

• 示例：
  

区间型指标 ⇒ 极大型指标

• 公式：
  
• 示例:
  • 36.6属于最佳区间[36,37]内,故正向化转换后数值为1;
  • 其余越接近这个范围,分数越高.
    

2.正向化矩阵标准化

• 标准化的目的: 消除不同指标量纲的影响。
• 注意：标准化的方法有很多种，其他例如 (x‐x的均值)/x的标准差；
  • 具体选用哪一种标准化的方法在多数情况下并没有很大的限制，这里采用的是前人的论文中用的比较多的一种标准化.
• 标准化的操作:
  

3.计算得分并归一化

• 公式:
  

• 区分归一化和标准化:

  • 归一化的计算步骤也可以消去量纲的影响;
  • 但更多时候，进行归一化的目的是为了让结果更容易解释(或者说让我们对结果有一个更加清晰直观的印象) ⇒ 例如将得分归一化后可限制在0‐1这个区间，对于区间内的每一个得分，能很容易得到其所处的比例位置

• 不足:没有考虑指标的权重(后面的内容会考虑指标的权重来进行计算)。

具体示例

• 根据成绩，对四名同学评分，使得评分能合理描述成绩高低。

  • 思路：

    • 

    • 不足：只要保证排名不变，即使修改成绩，评分也不变 ⇒ 即评分无法体现完全的成绩数据信息

    • 优化： 最高成绩max=99；最低成绩min=60； ⇒ 构造计算评分的公式：（x-min）/（max-min）
      

    • 为什么不设置“ 卷面最高成绩 ： 100；卷面最低成绩 ： 0 ”呢？

      • ①比较的对象一般要远大于两个。（例如比较一个班级的成绩）
      • ②比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课外竞赛得分等。
      • ③有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增长水平的指标：GDP增速。

  • 拓展：增加指标个数

    • 如上例中，新增加了一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评分。

    • 【步骤一】 处理评分因素指标不同的方式：统一指标类型。

      • 极小型指标 ⇒ 为极大型指标的公式：max-x
      • 处理后：
      • 但成绩和争吵次数不能简单地相加而论，故要先标准化处理。

    • 【步骤二】 标准化处理：为了消去不同指标量纲的影响，对已经正向化的矩阵进行标准化处理。

      • 标准化处理计算公式：

    • 【步骤三】 计算得分：

      • 只有一项指标计算得分：
      • 有多项指标计算得分：
        • 优劣解距离法：“优”表和最大值的距离；“劣”表和最小值的距离。
          

课后练习题

题目： 评价下表中20条河流的水质情况。

• 注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10‐20之间最佳，超过20或低于10均不好。
• 

分析

• 采用代码完成正向化、标准化后的矩阵，由于结果比较大，所以可以把处理后矩阵放入附录中

步骤一：指标正向化

• 由于：
  • 含氧量越高越好：极大型指标（效益型指标）
  • PH值越接近7越好：中间型指标
  • 细菌总数越少越好：极小型指标（成本型指标）
  • 植物性营养物量介于10‐20之间最佳，超过20或低于10均不好：区间型指标
• 故：第一步先将四个指标全转化为极大型
  

步骤二：标准化消除量纲

步骤三：计算得分

模型拓展：带权重指标

• 上面样例中默认成绩和争吵次数两项指标的权重是相同的：
• 但有可能成绩占评分权重四成，争吵次数占六成，此时就需要在第三步计算得分中加入权重考虑
• 权重如何确定呢？
  • ① 层次分析法（主观性太强了）
  • ② 熵权法（客观赋值）⇒ 推荐√
    • 熵权法的介绍在番外篇（正课最后一节：基于熵权法对Topsis模型的修正）

附言

• 参考课程可见 B站清风数模，如上仅作个人学习后笔记整理。