1.3 函数gamultiobj中的一些基本概念

        (2)在命令行调用GUI：

gamultiobj是使用遗传算法解决多目标优化问题的函数。它试图解决以下形式的多目标问题：
min F（X） subject to: AX <= b, AeqX = beq (线性约束)
X lb <= X <= ub (边界约束)

X = gamultiobj（FITNESSFCN，NVARS）找到在FITNESSFCN中定义的目标函数的局部帕累托集X。NVARS是优化问题的维数（决策变量的数量）。FITNESSFCN接受大小为1-by-NVARS的向量X，并返回在决策变量处评估的大小为1-by-numberOfObjectives的向量。X是具有NVARS列的矩阵。X中的行数与帕累托解的数量相同。帕累托集中的所有解同样优，取决于应用程序的设计者选择帕累托集中的解。

X = gamultiobj（FITNESSFCN，NVARS，A，b）找到在FITNESSFCN中定义的目标函数的局部帕累托集X，受制于线性不等式A*X <= B。仅支持默认的PopulationType选项（'doubleVector'）的线性约束；不支持其他种群类型，例如'bitString'和'custom'。

X = gamultiobj（FITNESSFCN，NVARS，A，b，Aeq，beq）找到在FITNESSFCN中定义的目标函数的局部帕累托集X，受制于线性等式AeqX = beq以及线性不等式AX <= b。（如果不存在不等式，则设置A=[]和b=[]。）仅支持默认的PopulationType选项（'doubleVector'）的线性约束；不支持其他种群类型，例如'bitString'和'custom'。

X = gamultiobj（FITNESSFCN，NVARS，A，b，Aeq，beq，lb，ub）定义设计变量X的下限和上限，以便在范围lb <= X <= ub中找到局部帕累托集。如果不存在边界，则使用空矩阵。如果X（i）无下限，则设置lb（i）= -Inf；如果X（i）无上限，则设置ub（i）= Inf。仅支持默认的PopulationType选项（'doubleVector'）的边界约束；不支持其他种群类型，例如'bitString'和'custom'。

X = gamultiobj（FITNESSFCN，NVARS，A，b，Aeq，beq，lb，ub，NONLCON）找到满足NONLCON中定义的约束的局部帕累托集X。函数NONLCON接受X并返回向量C和Ceq，分别表示非线性不等式和等式。帕累托集X必须满足C（X）<=0和Ceq（X）=0。如果不存在边界，则设置lb=[]和/或ub=[]。当PopulationType选项设置为'bitString'或'custom'时，不满足非线性约束。有关详细信息，请参见文档。

X = gamultiobj（FITNESSFCN，NVARS，A，b，Aeq，beq，lb，ub，NONLCON，options）使用OPTIONS中的值替换默认优化参数，找到帕累托集X。OPTIONS可以通过OPTIMOPTIONS函数创建。有关详细信息，请参见OPTIMOPTIONS。有关gamultiobj接受的选项列表，请参见文档。

X = gamultiobj（PROBLEM）查找PROBLEM的最小值。PROBLEM是具有以下字段的结构：
fitnessfcn：<Fitness function>
nvars：<Number of design variables>
Aineq：<不等式约束的A矩阵>
bineq：<不等式约束的b向量>
Aeq：<等式约束的Aeq矩阵>
beq：<等式约束的beq向量>
lb：<X的下限>
ub：<X的上限>
nonlcon：<非线性约束函数>
options：<使用optimoptions（'gamultiobj'，...）创建的选项>
solver：<solver name 'gamultiobj'>
rngstate：<随机数生成器的状态>

[X，FVAL] = gamultiobj（FITNESSFCN，NVARS，...）还返回矩阵FVAL，FITNESSFCN中定义的所有目标函数在X的所有解中的值。FVAL具有numberOfObjectives列，行数与X相同。

[X，FVAL，EXITFLAG] = gamultiobj（FITNESSFCN，NVARS，...）还返回描述gamultiobj的退出条件的EXITFLAG。EXITFLAG的可能值以及相应的退出条件为

1：在options.MaxStallGenerations代内帕累托集的扩展的平均值的值的变化小于options.FunctionTolerance。
0：超过最大代数。
-1：由输出或绘图函数终止优化。
-2：未找到可行点。
-5：超时。

[X，FVAL，EXITFLAG，OUTPUT] = gamultiobj（FITNESSFCN，NVARS，...）还返回带有以下字段的结构OUTPUT：
rngstate：<GA开始前随机数生成器的状态>
generations：<总代数，不包括HybridFcn迭代>
funccount：<函数评估的总数>
maxconstraint：<最大约束违规（如果有）>
message：<gamultiobj终止消息>

[X，FVAL，EXITFLAG，OUTPUT，POPULATION] = gamultiobj（FITNESSFCN，...）在终止时还返回最终POPULATION。

[X，FVAL，EXITFLAG，OUTPUT，POPULATION，SCORE] = gamultiobj（FITNESSFCN，...）在终止时还返回最终POPULATION的SCORE。

3 MATLAB程序实现

3.1 gamultiobj组织结构

3.2 函数stepgamultiobj分析

1.函数stepgamultiobj结构及图形描述

        函数stepgamultiobj的代码位于：MATLAB安装目录\toolbox\gads\gads\private,其结构如图3所示。

function parents = selectiontournament(expectation,nParents,options,tournamentSize)

if nargin < 4 || isempty(tournamentSize)
    tournamentSize = 4;
end

% Choose the players
playerlist = ceil(size(expectation,1) * rand(nParents,tournamentSize));
% Play tournament
parents = tournament(playerlist,expectation);

function champions = tournament(playerlist,expectation)
%tournament between players based on their expectation

playerSize = size(playerlist,1);
champions = zeros(1,playerSize);
% For each set of players
for i = 1:playerSize
    players = playerlist(i,:);
    % For each tournament
    winner = players(1); % Assume that the first player is the winner
    for j = 2:length(players) % Winner plays against each other consecutively
        score1 = expectation(winner,:);
        score2 = expectation(players(j),:);
        if score2(1) > score1(1) 
            winner = players(j);
        elseif score2(1) == score1(1)
            try % socre(2) may not be present for single objective problems
                if score2(2) > score1(2)
                    winner = players(j);
                end
            catch
            end
        end
    end
    champions(i) = winner;
end

population=[population;nextPopulation];

function f = my_first_multi(x)
 
f(1) = x(1)^4 - 10*x(1)^2+x(1)*x(2) + x(2)^4 - (x(1)^2)*(x(2)^2);
f(2) = x(2)^4 - (x(1)^2)*(x(2)^2) + x(1)^4 + x(1)*x(2);

clear
clc
 

fitnessfcn = @my_first_multi;   % Function handle to the fitness function
nvars = 2;                      % Number of decision variables
lb = [-5,-5];                   % Lower bound
ub = [5,5];                     % Upper bound
A = []; b = [];                 % No linear inequality constraints
Aeq = []; beq = [];             % No linear equality constraints
options = gaoptimset('ParetoFraction',0.3,'PopulationSize',100,'Generations',200,'StallGenLimit',200,'TolFun',1e-100,'PlotFcns',@gaplotpareto);

[x,fval] = gamultiobj(fitnessfcn,nvars, A,b,Aeq,beq,lb,ub,options);