【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p15-16 一、二维连续型求概率

一维连续型求概率

题型如下：

解题步骤如下：
其实就是求积分

举例1的例子：

例2：

解：

例3：

解：
注意：要把Y变为X计算，且要分类讨论y是否大于0.

例4：

解：
去掉max和min的方法：

去掉多余项的方法：

假设要求AB两项同时发生的概率，当多余项（A）必然发生时，两个事件同时发生的概率其实就是B发生的概率。

具体解：

例5：（猴博士：大概是一维连续型求概率的最难的题型）

解：

注 意 ， 对 P { 2 ≤ y   , x ≤ 1 } 来 说 ， 2 ≤ y   是 一 个 确 定 的 范 围 ， 所 以 它 算 是 多 余 项 ， 判 断 是 否 一 定 发 生 但 是 P { x ≤ y   , x ≤ 1 } 中 x ≤ y   不 是 一 个 确 定 的 范 围 ， 所 以 要 对 y 分 类 讨 论 注意，对P \{2 \le y\ , x \le 1\}来说，2 \le y\ 是一个确定的范围，\newline 所以它算是多余项，判断是否一定发生\newline 但是P \{x \le y\ , x \le 1\}中x \le y\ 不是一个确定的范围，\newline 所以要对y分类讨论 注意，对P{2≤y ,x≤1}来说，2≤y 是一个确定的范围，所以它算是多余项，判断是否一定发生但是P{x≤y ,x≤1}中x≤y 不是一个确定的范围，所以要对y分类讨论
对答案合并的方法：

答案：

一些小知识点：
这三个是一个意思：

二维连续型求概率

题型如下：给出f(x,y)，求P

步骤：求二重积分

看例1题解：

注 意 ， x 的 范 围 是 ( 0 , 1 ) , 但 y 的 范 围 是 ( 0 , x 2 ) , 而 不 是 ( 0 , 1 2 ) 注意，x的范围是(0,1),但y的范围是(0,\frac{x}{2}),而不是(0,\frac{1}{2}) 注意，x的范围是(0,1),但y的范围是(0,2x​),而不是(0,21​)

例2：

这是一道要分析D的题目：
D 为 { f ( x , y ) 非 零 区 域 满 足 概 率 要 求 的 区 域 的 重 合 区 域 我 们 先 找 f ( x , y ) 非 零 区 域 ， 画 出 坐 标 系 ， 把 坐 标 系 上 每 个 点 连 线 ， 且 每 个 点 都 做 平 行 于 x 和 y 的 虚 线 最 左 边 线 的 左 边 和 最 下 面 线 的 下 面 都 是 其 他 情 况 剩 下 的 所 有 格 子 都 要 分 类 讨 论 D为 \begin{cases} f(x,y)非零区域\\ 满足概率要求的区域 \end{cases} 的重合区域 \\我们先找f(x,y)非零区域，画出坐标系，\\把坐标系上每个点连线，且每个点都做平行于x和y的虚线\\最左边线的左边和最下面线的下面都是 其他情况 \\剩下的所有格子都要分类讨论 D为{f(x,y)非零区域满足概率要求的区域​的重合区域我们先找f(x,y)非零区域，画出坐标系，把坐标系上每个点连线，且每个点都做平行于x和y的虚线最左边线的左边和最下面线的下面都是其他情况剩下的所有格子都要分类讨论
如：
这个坐标系的左线的左边和下线的下面都是其他情况。

再举个例子：荧光笔部分为其他情况。

然后剩下六个格子，其中两个格子中有概率范围，所以一共有八种情况需要讨论（六个不在概率里的格子，两个在概率里的格子）。

我们回到例2，因此例2要讨论四种情况+其他情况（其他情况下无重合区域）：

因此，积分的结果是个大括号：

然后计算，把结果填上去即可：

例3：

到这里就应该知道这道题该怎么做了：

这 里 Z = X + 2 Y ， 可 以 给 出 Y 关 于 X 和 Z 的 表 达 式 由 于 f ( x , y ) 的 非 0 区 域 为 x > 0 , y > 0 画 出 相 交 的 图 后 发 现 只 有 Z > 0 的 时 候 才 存 在 重 合 区 域 因 此 分 为 Z > 0 , Z ≤ 0 两 种 情 况 分 类 讨 论 即 可 ( 只 有 前 者 有 积 分 ， 后 者 为 0 ) 这里Z=X+2Y，可以给出Y关于X和Z的表达式 \\由于f(x,y)的非0区域为x>0,y>0 \\画出相交的图后发现只有Z>0的时候才存在重合区域 \\因此分为Z>0,Z\le0两种情况分类讨论即可\\(只有前者有积分，后者为0) 这里Z=X+2Y，可以给出Y关于X和Z的表达式由于f(x,y)的非0区域为x>0,y>0画出相交的图后发现只有Z>0的时候才存在重合区域因此分为Z>0,Z≤0两种情况分类讨论即可(只有前者有积分，后者为0)

画出图：

得知：
x 的 积 分 范 围 是 ( 0 , z ) , y 的 积 分 范 围 是 ( 0 , z 2 ) x的积分范围是(0,z),y的积分范围是(0,\frac{z}{2}) x的积分范围是(0,z),y的积分范围是(0,2z​)
答案：

小补充：这三个其实求的是一样的