第三章

3.1.1 二维随机变量及其分布函数

E E E为随机试验， Ω \Omega Ω为样本空间， X , Y X,Y X,Y是定义在 Ω \Omega Ω上的两个随机变量
( X , Y ) (X,Y) (X,Y)称为二维随机向量/变量

联合分布

分布函数：
F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y) F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)（ X , Y X,Y X,Y的联合分布函数）

性质：

1. 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0\leq F(x,y)\leq1 0≤F(x,y)≤1
2. F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)是 x x x或 y y y的不减函数
3. F ( − ∞ , y ) = 0 , F ( x , − ∞ ) = 0 , F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(-\infin,y)=0,F(x,-\infin)=0,F(-\infin,-\infin)=0,F(+\infin,+\infin)=1 F(−∞,y)=0,F(x,−∞)=0,F(−∞,−∞)=0,F(+∞,+∞)=1
4. F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)分别关于 x , y x,y x,y右连续
5. x 1 < x 2 , y 1 < y 2 x_1<x_2,y_1<y_2 x1​<x2​,y1​<y2​，则 P ( x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 ) = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P(x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) P(x1​<X≤x2​,y1​<Y≤y2​)=F(x2​,y2​)−F(x2​,y1​)−F(x1​,y2​)+F(x1​,y1​)

边缘分布

F X ( x ) = P ( X ≤ x ) = F ( x , + ∞ ) = P ( X ≤ x , Y < + ∞ ) F_X(x)=P(X\leq x)=F(x,+\infin)=P(X\leq x,Y<+\infin) FX​(x)=P(X≤x)=F(x,+∞)=P(X≤x,Y<+∞)
F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = F ( + ∞ , y ) = P ( X < + ∞ , Y ≤ y ) F_Y(y)=P(Y\leq y)=F(+\infin,y)=P(X<+\infin,Y\leq y) FY​(y)=P(Y≤y)=F(+∞,y)=P(X<+∞,Y≤y)

3.1.2 二维离散型的联合分布和边缘分布

X \ Y 1 2 3 1 0 1 / 2 1 / 8 2 1 / 8 1 / 8 1 / 8 \begin{array}{c|c} X\backslash Y & 1 & 2 & 3\\ \hline 1 & 0 & 1/2 & 1/8 \\ 2 & 1/8 & 1/8 & 1/8 \end{array} X\Y12​101/8​21/21/8​31/81/8​​
（联合分布表）
P ( X = x i , Y = y j ) = P i j P(X=x_i,Y=y_j)=P_{ij} P(X=xi​,Y=yj​)=Pij​

性质：

1. P i j ≥ 0 P_{ij}\geq0 Pij​≥0
2. ∑ i ∑ j P i j = 1 \displaystyle\sum_i\sum_jP_{ij}=1 i∑​j∑​Pij​=1

F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) = ∑ X i ≤ x ∑ Y j ≤ y P i j F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)=\displaystyle\sum_{X_i\leq x}\sum_{Y_j\leq y}P_{ij} F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=Xi​≤x∑​Yj​≤y∑​Pij​

边缘分布：
对行/列求和

联合分布可唯一确定边缘分布，边缘分布不能确定联合分布（ X , Y X,Y X,Y独立）

3.1.3 二维连续型的联合分布和边缘分布

联合分布

F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)=\displaystyle\int_{-\infin}^x\int_{-\infin}^yf(s,t)dsdt F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∫−∞x​∫−∞y​f(s,t)dsdt

分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)，联合密度函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)

性质：

1. f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y)\geq0 f(x,y)≥0
2. ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dxdy=1 ∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(x,y)dxdy=1
3. ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) \displaystyle\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y) ∂x∂y∂2F(x,y)​=f(x,y)
4. G G G是 X Y XY XY平面上的区域， P ( ( X , Y ) ∈ G ) = ∬ G f ( x , y ) d x d y P((X,Y)\in G)=\displaystyle\iint\limits_{G}f(x,y)dxdy P((X,Y)∈G)=G∬​f(x,y)dxdy

例题
【例1】
f ( x , y ) = { C ( x , y ) ∈ G 0 e l s e f(x,y)=\begin{cases} C & (x,y)\in G\\ 0 & else \end{cases} f(x,y)={C0​(x,y)∈Gelse​
G : x 2 + y 2 ≤ r 2 G:x^2+y^2\leq r^2 G:x2+y2≤r2
求 C C C

解：
∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = ∬ G C d x d y = C π r 2 = 1 \displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dxdy=\iint\limits_{G}Cdxdy=C\pi r^2=1 ∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(x,y)dxdy=G∬​Cdxdy=Cπr2=1
C = 1 π r 2 C=\displaystyle\frac{1}{\pi r^2} C=πr21​

均匀分布定义：
f ( x , y ) = { 1 S G ( x , y ) ∈ G 0 e l s e f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{S_G} & (x,y)\in G\\ 0 & else \end{cases} f(x,y)=⎩⎨⎧​SG​1​0​(x,y)∈Gelse​

【例2】
f ( x , y ) = { e − ( x + y ) x > 0 , y > 0 0 e l s e f(x,y)=\begin{cases} e^{-(x+y)} & x>0,y>0\\ 0 & else \end{cases} f(x,y)={e−(x+y)0​x>0,y>0else​
G : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 1 G:x\geq 0,y\geq 0,x+y\leq 1 G:x≥0,y≥0,x+y≤1
求：1. F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)；2. P ( ( x , y ) ∈ G ) P((x,y)\in G) P((x,y)∈G)；3. F X ( x ) , F Y ( y ) F_X(x),F_Y(y) FX​(x),FY​(y)

解：

1. F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y) F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)

• x > 0 , y > 0 x>0,y>0 x>0,y>0
  F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d y = ∫ 0 x ∫ 0 y e − s e − t d s d y F(x,y)=\displaystyle\int_{-\infin}^x\int_{-\infin}^yf(s,t)dsdy=\int_0^x\int_0^ye^{-s}e^{-t}dsdy F(x,y)=∫−∞x​∫−∞y​f(s,t)dsdy=∫0x​∫0y​e−se−tdsdy
  已知 ∫ a b ∫ c d f ( x , y ) d x d y = ∫ a b ∫ c d f 1 ( x ) f 2 ( y ) d x d y = ∫ a b f 1 ( x ) d x ⋅ ∫ c d f 2 ( y ) d y \displaystyle\int_a^b\int_c^df(x,y)dxdy=\int_a^b\int_c^df_1(x)f_2(y)dxdy=\int_a^bf_1(x)dx\cdot\int_c^df_2(y)dy ∫ab​∫cd​f(x,y)dxdy=∫ab​∫cd​f1​(x)f2​(y)dxdy=∫ab​f1​(x)dx⋅∫cd​f2​(y)dy（高数知识）
  故 F ( x , y ) = ∫ 0 x e − s d s ⋅ ∫ 0 y e − t d y = ( 1 − e − x ) ( 1 − e − y ) \displaystyle F(x,y)=\int_0^xe^{-s}ds\cdot\int_0^ye^{-t}dy=(1-e^{-x})(1-e^{-y}) F(x,y)=∫0x​e−sds⋅∫0y​e−tdy=(1−e−x)(1−e−y)
• x < 0 x<0 x<0或 y < 0 y<0 y<0， F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0

1. P ( ( x , y ) ∈ G ) = ∬ G f ( x , y ) d x d y = ∬ G e − ( x + y ) d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x e − ( x + y ) d y = 1 − 2 e − 1 P((x,y)\in G)=\displaystyle\iint\limits_{G}f(x,y)dxdy=\iint\limits_{G}e^{-(x+y)}dxdy=\int_0^1dx\int_0^{1-x}e^{-(x+y)}dy=1-2e^{-1} P((x,y)∈G)=G∬​f(x,y)dxdy=G∬​e−(x+y)dxdy=∫01​dx∫01−x​e−(x+y)dy=1−2e−1

2. F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) = { 1 − e − x x > 0 0 x ≤ 0 F_X(x)=\lim\limits_{y\to+\infin}F(x,y)= \begin{cases} 1-e^{-x} & x>0\\ 0 & x\leq0 \end{cases} FX​(x)=y→+∞lim​F(x,y)={1−e−x0​x>0x≤0​

边缘分布

F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d t ] d s F_X(x)=F(x,+\infin)=\displaystyle\int_{-\infin}^x[\int_{-\infin}^{+\infin}f(s,t)dt]ds FX​(x)=F(x,+∞)=∫−∞x​[∫−∞+∞​f(s,t)dt]ds
对上式求导
已知 [ ∫ a f ( x ) g ( t ) d t ] ′ = f ′ ( x ) g ( f ( x ) ) [\displaystyle\int_a^{f(x)}g(t)dt]'=f'(x)g(f(x)) [∫af(x)​g(t)dt]′=f′(x)g(f(x))（高数知识）
则：
f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_X(x)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,t)dt=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dy fX​(x)=∫−∞+∞​f(x,t)dt=∫−∞+∞​f(x,y)dy
f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( s , y ) d s = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_Y(y)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}f(s,y)ds=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dx fY​(y)=∫−∞+∞​f(s,y)ds=∫−∞+∞​f(x,y)dx

例题
【例3】
已知 f ( x , y ) = 1 π 2 ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) f(x,y)=\displaystyle\frac{1}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)} f(x,y)=π2(1+x2)(1+y2)1​，求 f X ( x ) , f Y ( y ) f_X(x),f_Y(y) fX​(x),fY​(y)

解：
f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 π 2 ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) d y = 1 π 2 ( 1 + x 2 ) arctan ⁡ y ∣ − ∞ + ∞ = 1 π ( 1 + x 2 ) f_X(x)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)}dy=\frac{1}{\pi^2(1+x^2)}\arctan y|_{-\infin}^{+\infin}=\frac{1}{\pi(1+x^2)} fX​(x)=∫−∞+∞​π2(1+x2)(1+y2)1​dy=π2(1+x2)1​arctany∣−∞+∞​=π(1+x2)1​
f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ 1 π 2 ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) d x = 1 π 2 ( 1 + y 2 ) arctan ⁡ x ∣ − ∞ + ∞ = 1 π ( 1 + y 2 ) f_Y(y)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)}dx=\frac{1}{\pi^2(1+y^2)}\arctan x|_{-\infin}^{+\infin}=\frac{1}{\pi(1+y^2)} fY​(y)=∫−∞+∞​π2(1+x2)(1+y2)1​dx=π2(1+y2)1​arctanx∣−∞+∞​=π(1+y2)1​

定理：
f ( x , y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y) f(x,y)=fX​(x)⋅fY​(y)

【例4】
f ( x , y ) = { 1 π r 2 x 2 + y 2 ≤ r 0 e l s e f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{\pi r^2} & x^2+y^2\leq r\\ 0 & else \end{cases} f(x,y)=⎩⎨⎧​πr21​0​x2+y2≤relse​
求 f X ( x ) , f Y ( y ) f_X(x),f_Y(y) fX​(x),fY​(y)

解：

• ∣ x ∣ ≤ r |x|\leq r ∣x∣≤r时， f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y = ∫ − r 2 − x 2 r 2 − x 2 1 π r 2 d y = 2 r 2 − x 2 π r 2 f_X(x)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dy=\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\frac{1}{\pi r^2}dy=\frac{2\sqrt{r^2-x^2}}{\pi r^2} fX​(x)=∫−∞+∞​f(x,y)dy=∫−r2−x2 ​r2−x2 ​​πr21​dy=πr22r2−x2 ​​
• ∣ x ∣ > r |x|>r ∣x∣>r时， f X ( x ) = 0 f_X(x)=0 fX​(x)=0

综上， f X ( x ) = { 2 r 2 − x 2 π r 2 ∣ x ∣ ≤ r 0 e l s e f_X(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{2\sqrt{r^2-x^2}}{\pi r^2} & |x|\leq r\\ 0&else \end{cases} fX​(x)=⎩⎨⎧​πr22r2−x2 ​​0​∣x∣≤relse​
同理，
f Y ( y ) = { 2 r 2 − y 2 π r 2 ∣ y ∣ ≤ r 0 e l s e f_Y(y)= \begin{cases} \displaystyle\frac{2\sqrt{r^2-y^2}}{\pi r^2} & |y|\leq r\\ 0&else \end{cases} fY​(y)=⎩⎨⎧​πr22r2−y2 ​​0​∣y∣≤relse​

均匀分布：
一维变量 x , y x,y x,y都属于均匀分布时，二维随机变量并非属于均匀分布

正态分布：

1. 二维正态分布的边缘分布也是正态分布
2. 两个边缘分布是正态分布，二维随机变量不一定是二维正态分布

3.2.1 条件分布

F ( x ) = P ( X ≤ x ) F(x)=P(X\leq x) F(x)=P(X≤x)

条件分布：
F ( x ∣ A ) = P ( X ≤ x ∣ A ) F(x|A)=P(X\leq x|A) F(x∣A)=P(X≤x∣A)

例题
【例1】
求 f ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) f(x)=\displaystyle\frac{1}{\pi(1+x^2)} f(x)=π(1+x2)1​在 x > 1 x>1 x>1的条件下的条件分布
解：
F ( X ∣ x > 1 ) = P ( X ≤ x ∣ X > 1 ) = P ( X ≤ x , X > 1 ) P ( X > 1 ) F(X|x>1)=P(X\leq x|X>1)=\displaystyle\frac{P(X\leq x,X>1)}{P(X>1)} F(X∣x>1)=P(X≤x∣X>1)=P(X>1)P(X≤x,X>1)​

• x ≤ 1 x\leq 1 x≤1时， F ( X ∣ x > 1 ) = 0 F(X|x>1)=0 F(X∣x>1)=0
• x > 1 x>1 x>1时， P ( 1 < X ≤ x ) = ∫ 1 x 1 π ( 1 + x 2 ) d t = 1 π arctan ⁡ t ∣ 1 x = 1 π arctan ⁡ x − 1 4 P(1<X\leq x)=\displaystyle\int_1^x\frac{1}{\pi(1+x^2)}dt=\frac{1}{\pi}\arctan t|_1^x=\frac{1}{\pi}\arctan x-\frac{1}{4} P(1<X≤x)=∫1x​π(1+x2)1​dt=π1​arctant∣1x​=π1​arctanx−41​
  P ( X > 1 ) = ∫ 1 + ∞ 1 π ( 1 + x 2 ) d t = 1 4 P(X>1)=\displaystyle\int_1^{+\infin}\frac{1}{\pi(1+x^2)}dt=\frac{1}{4} P(X>1)=∫1+∞​π(1+x2)1​dt=41​
  因此， F ( X ∣ x > 1 ) = { 0 x ≤ 1 4 π arctan ⁡ x − 1 x > 1 F(X|x>1)=\begin{cases} 0 & x\leq1\\ \displaystyle\frac{4}{\pi}\arctan x-1 & x>1 \end{cases} F(X∣x>1)=⎩⎨⎧​0π4​arctanx−1​x≤1x>1​

3.2.2 离散型的条件分布

X 1 \ X 2 0 1 0 0.1 0.3 1 0.3 0.3 \begin{array}{c|c} X_1\backslash X_2 & 0 & 1\\ \hline 0 & 0.1 & 0.3\\ 1 & 0.3 & 0.3 \end{array} X1​\X2​01​00.10.3​10.30.3​​

P ( X 2 = 0 ∣ X 1 = 0 ) = 0.1 / 0.4 = 0.25 P(X_2=0|X_1=0)=0.1/0.4=0.25 P(X2​=0∣X1​=0)=0.1/0.4=0.25

3.2.3 连续型的条件分布

二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)，已知 f ( x , y ) , f X ( x ) , f Y ( y ) f(x,y),f_X(x),f_Y(y) f(x,y),fX​(x),fY​(y)，若 f Y ( y ) > 0 f_Y(y)>0 fY​(y)>0，在 Y = y Y=y Y=y条件下， F ( x ∣ y ) = ∫ − ∞ x f ( u , y ) f Y ( y ) d u F(x|y)=\displaystyle\int_{-\infin}^x\frac{f(u,y)}{f_Y(y)}du F(x∣y)=∫−∞x​fY​(y)f(u,y)​du

F ( y ∣ x ) = ∫ − ∞ y f ( x , v ) f X ( x ) d v F(y|x)=\displaystyle\int_{-\infin}^y\frac{f(x,v)}{f_X(x)}dv F(y∣x)=∫−∞y​fX​(x)f(x,v)​dv

f ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f(x|y)=\displaystyle\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} f(x∣y)=fY​(y)f(x,y)​
f ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f(y|x)=\displaystyle\frac{f(x,y)}{f_X(x)} f(y∣x)=fX​(x)f(x,y)​

理论证明：
P ( X ≤ x ∣ Y = y ) = P ( X ≤ x , Y = y ) P ( Y = y ) = lim ⁡ ϵ → 0 P ( X ≤ x , y ≤ Y ≤ y + ϵ ) P ( y ≤ Y ≤ y + ϵ ) = lim ⁡ ϵ → 0 ∫ − ∞ x ∫ y y + ϵ f ( u , v ) d v d u ∫ y y + ϵ f Y ( v ) d v = lim ⁡ ϵ → 0 ∫ − ∞ x 1 ϵ ∫ y y + ϵ f ( u , v ) d v d u 1 ϵ ∫ y y + ϵ f Y ( v ) d v P(X\leq x|Y=y)=\displaystyle\frac{P(X\leq x,Y=y)}{P(Y=y)}=\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{P(X\leq x,y\leq Y\leq y+\epsilon)}{P(y\leq Y\leq y+\epsilon)}=\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\displaystyle\int_{-\infin}^x\int_y^{y+\epsilon}f(u,v)dvdu}{\displaystyle\int_y^{y+\epsilon}f_Y(v)dv}=\lim\limits_{\epsilon\to0}\frac{\displaystyle\int_{-\infin}^x\frac{1}{\epsilon}\int_y^{y+\epsilon}f(u,v)dvdu}{\displaystyle\frac{1}{\epsilon}\int_y^{y+\epsilon}f_Y(v)dv} P(X≤x∣Y=y)=P(Y=y)P(X≤x,Y=y)​=ϵ→0lim​P(y≤Y≤y+ϵ)P(X≤x,y≤Y≤y+ϵ)​=ϵ→0lim​∫yy+ϵ​fY​(v)dv∫−∞x​∫yy+ϵ​f(u,v)dvdu​=ϵ→0lim​ϵ1​∫yy+ϵ​fY​(v)dv∫−∞x​ϵ1​∫yy+ϵ​f(u,v)dvdu​

由积分中值定理（存在 ξ ∈ ( a , b ) \xi\in(a,b) ξ∈(a,b)， s . t . ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) s.t. \displaystyle\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a) s.t.∫ab​f(x)dx=f(ξ)(b−a)），可得：

存在 ξ ∈ ( y , y + ϵ ) \xi\in(y,y+\epsilon) ξ∈(y,y+ϵ)， s . t . ∫ y y + ϵ f Y ( v ) d v = f ( ξ ) ϵ = f ( y ) ϵ s.t.\displaystyle\int_y^{y+\epsilon}f_Y(v)dv=f(\xi)\epsilon=f(y)\epsilon s.t.∫yy+ϵ​fY​(v)dv=f(ξ)ϵ=f(y)ϵ

故 P ( X ≤ x ∣ Y = y ) = ∫ − ∞ x f ( u , v ) d u f Y ( y ) = ∫ − ∞ x u , y f Y ( y ) d u P(X\leq x|Y=y)=\displaystyle\frac{\displaystyle\int_{-\infin}^xf(u,v)du}{f_Y(y)}=\int_{-\infin}^x\frac{u,y}{f_Y(y)}du P(X≤x∣Y=y)=fY​(y)∫−∞x​f(u,v)du​=∫−∞x​fY​(y)u,y​du

例题
【例1】
f ( x , y ) = 1 π 2 ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) f(x,y)=\displaystyle\frac{1}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)} f(x,y)=π2(1+x2)(1+y2)1​
则 f X ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) , f Y ( y ) = 1 π ( 1 + y 2 ) f_X(x)=\displaystyle\frac{1}{\pi(1+x^2)},f_Y(y)=\frac{1}{\pi(1+y^2)} fX​(x)=π(1+x2)1​,fY​(y)=π(1+y2)1​

因此：
f ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) = 1 π ( 1 + x 2 ) f(x|y)=\displaystyle\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{1}{\pi(1+x^2)} f(x∣y)=fY​(y)f(x,y)​=π(1+x2)1​
f ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f X ( x ) = 1 π ( 1 + y 2 ) f(x|y)=\displaystyle\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{1}{\pi(1+y^2)} f(x∣y)=fX​(x)f(x,y)​=π(1+y2)1​

【例2】
f ( x , y ) = { 1 π r 2 x 2 + y 2 ≤ r 2 0 e l s e f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{\pi r^2} & x^2+y^2\leq r^2\\ 0 & else \end{cases} f(x,y)=⎩⎨⎧​πr21​0​x2+y2≤r2else​

则 f X ( x ) = { 2 r 2 − x 2 π r 2 ∣ x ∣ ≤ r 0 e l s e f_X(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{2\sqrt{r^2-x^2}}{\pi r^2} & |x|\leq r\\ 0 & else \end{cases} fX​(x)=⎩⎨⎧​πr22r2−x2 ​​0​∣x∣≤relse​
f Y ( y ) = { 2 r 2 − y 2 π r 2 ∣ y ∣ ≤ r 0 e l s e f_Y(y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{2\sqrt{r^2-y^2}}{\pi r^2} & |y|\leq r\\ 0 & else \end{cases} fY​(y)=⎩⎨⎧​πr22r2−y2 ​​0​∣y∣≤relse​

• 若 ∣ y ∣ < r |y|<r ∣y∣<r， f ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) = { 1 2 r 2 − y 2 − r 2 − y 2 ≤ x ≤ r 2 − y 2 0 e l s e f(x|y)=\displaystyle\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{r^2-y^2}} & -\sqrt{r^2-y^2}\leq x\leq\sqrt{r^2-y^2}\\ 0 & else \end{cases} f(x∣y)=fY​(y)f(x,y)​=⎩⎨⎧​2r2−y2 ​1​0​−r2−y2 ​≤x≤r2−y2 ​else​

• P ( X > 0 ∣ Y = 0 ) = ∫ 0 + ∞ 1 2 r d x = 1 2 P(X>0|Y=0)=\displaystyle\int_0^{+\infin}\frac{1}{2r}dx=\frac{1}{2} P(X>0∣Y=0)=∫0+∞​2r1​dx=21​

3.2.4 随机变量的独立性

判断随机变量独立性的条件（任选）：

• f ( x ∣ y ) = f X ( x ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f(x|y)=f_X(x)=\displaystyle\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} f(x∣y)=fX​(x)=fY​(y)f(x,y)​（即： f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) f(x,y)=fX​(x)fY​(y)）（常见）
• F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX​(x)FY​(y)
• P ( X ∈ S x , Y ∈ S y ) = P ( X ∈ S x ) P ( Y ∈ S y ) P(X\in S_x,Y\in S_y)=P(X\in S_x)P(Y\in S_y) P(X∈Sx​,Y∈Sy​)=P(X∈Sx​)P(Y∈Sy​)

二维离散型的独立性

P ( X = x i , Y = y j ) = P ( X = x i ) P ( Y = y j ) P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j) P(X=xi​,Y=yj​)=P(X=xi​)P(Y=yj​)

二维连续型的独立性

f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) f(x,y)=fX​(x)fY​(y)

例题
【例2】经理到达办公室时间为8-12时均匀分布，秘书到达时间为7-9时均匀分布，求两人到达时间不超过5 min（1/12 hour）的概率

解：
设 X X X为经理到达时间， Y Y Y为秘书到达时间
f X ( x ) = { 1 4 8 < x < 12 0 e l s e f_X(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{4} & 8<x<12\\ 0 & else \end{cases} fX​(x)=⎩⎨⎧​41​0​8<x<12else​
f Y ( y ) = { 1 2 7 < y < 9 0 e l s e f_Y(y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{2} & 7<y<9\\ 0 & else \end{cases} fY​(y)=⎩⎨⎧​21​0​7<y<9else​

X , Y X,Y X,Y相互独立
f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = { 1 8 8 < x < 12 , 7 < y < 9 0 e l s e f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{8} & 8<x<12,7<y<9\\ 0 & else \end{cases} f(x,y)=fX​(x)fY​(y)=⎩⎨⎧​81​0​8<x<12,7<y<9else​

x − 1 12 ≤ y ≤ x + 1 12 \displaystyle x-\frac{1}{12}\leq y\leq x+\frac{1}{12} x−121​≤y≤x+121​

P ( ∣ X − Y ∣ ≤ 1 12 ) = ∬ G f ( x , y ) d x d y = ∬ G 1 8 d x d y = 1 48 P(|X-Y|\leq\displaystyle\frac{1}{12})=\displaystyle\iint\limits_Gf(x,y)dxdy=\iint\limits_G\frac{1}{8}dxdy=\frac{1}{48} P(∣X−Y∣≤121​)=G∬​f(x,y)dxdy=G∬​81​dxdy=481​

变量独立，构造的函数也独立

定理： X , Y X,Y X,Y独立，则 g 1 ( X ) , g 2 ( Y ) g_1(X),g_2(Y) g1​(X),g2​(Y)也独立

3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布

举例
【例1】
X \ Y 4 4.2 5 0.2 0.4 5.1 0.3 0.1 \begin{array}{c|c} X\backslash Y & 4 & 4.2\\ \hline 5 & 0.2 & 0.4\\ 5.1 & 0.3 & 0.1 \end{array} X\Y55.1​40.20.3​4.20.40.1​​
求 Z = X Y Z=XY Z=XY：
Z 20 21 20.4 21.42 P 0.2 0.4 0.3 0.1 \begin{array}{c|c} Z & 20 & 21 & 20.4 & 21.42\\ \hline P & 0.2 & 0.4 & 0.3 & 0.1 \end{array} ZP​200.2​210.4​20.40.3​21.420.1​​

【例2】
x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​独立， 0 − 1 0-1 0−1分布，参数为 p p p，求 x 1 + x 2 x_1+x_2 x1​+x2​

x 1 0 1 P 1 − p p \begin{array}{c|c} x_1 & 0 & 1\\ \hline P & 1-p & p \end{array} x1​P​01−p​1p​​

x 2 0 1 P 1 − p p \begin{array}{c|c} x_2 & 0 & 1\\ \hline P & 1-p & p \end{array} x2​P​01−p​1p​​

因此：
x 1 + x 2 0 1 2 P ( 1 − p ) 2 2 p ( 1 − p ) p 2 \begin{array}{c|c} x_1+x_2 & 0 & 1 & 2\\ \hline P & (1-p)^2 & 2p(1-p) & p^2 \end{array} x1​+x2​P​0(1−p)2​12p(1−p)​2p2​​

x 1 + x 2 ∼ B ( 2 , p ) x_1+x_2\sim B(2,p) x1​+x2​∼B(2,p)

【例3】
X , Y X,Y X,Y独立，分别服从参数为 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1​,λ2​的泊松分布，求 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

泊松分布： P ( X = k ) = λ k k ! e − λ P(X=k)=\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} P(X=k)=k!λk​e−λ

P ( Z = k ) = ∑ i = 0 k P ( X = i , Y = k − i ) = ∑ i = 0 k P ( X = i ) P ( Y = k − i ) = ∑ i = 0 k λ 1 i i ! e − λ 1 λ 2 k − i ( k − i ) ! e − λ 2 = ( λ 1 + λ 2 ) k k ! e − ( λ 1 + λ 2 ) P(Z=k)=\displaystyle\sum_{i=0}^kP(X=i,Y=k-i)=\sum_{i=0}^kP(X=i)P(Y=k-i)=\sum_{i=0}^k\frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1}\frac{\lambda_2^{k-i}}{(k-i)!}e^{-\lambda_2}=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} P(Z=k)=i=0∑k​P(X=i,Y=k−i)=i=0∑k​P(X=i)P(Y=k−i)=i=0∑k​i!λ1i​​e−λ1​(k−i)!λ2k−i​​e−λ2​=k!(λ1​+λ2​)k​e−(λ1​+λ2​)

Z ∼ P ( λ 1 + λ 2 ) Z\sim P(\lambda_1+\lambda_2) Z∼P(λ1​+λ2​)
（泊松分布具有可加性）

3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布

二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)，联合密度函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)

1. F Z ( z ) = P ( X ≤ z ) = P ( g ( X , Y ) ≤ z ) = ∬ D z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P(X\leq z)=P(g(X,Y)\leq z)=\displaystyle\iint\limits_{D_z}f(x,y)dxdy FZ​(z)=P(X≤z)=P(g(X,Y)≤z)=Dz​∬​f(x,y)dxdy
   （ D z = { ( x , y ) ∣ g ( x , y ) ≤ z } D_z=\{(x,y)|g(x,y)\leq z\} Dz​={(x,y)∣g(x,y)≤z}）
2. 对上式两边求导：
   f Z ( z ) = … … f_Z(z)=…… fZ​(z)=……

例题
【例1】
f ( x , y ) = 1 2 π e − x 2 + y 2 2 f(x,y)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} f(x,y)=2π1​e−2x2+y2​，求 Z = X 2 + Y 2 Z=\sqrt{X^2+Y^2} Z=X2+Y2 ​

解：

• z < 0 z<0 z<0时， F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P ( X 2 + Y 2 ≤ z ) = 0 F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(\sqrt{X^2+Y^2}\leq z)=0 FZ​(z)=P(Z≤z)=P(X2+Y2 ​≤z)=0
• z ≥ 0 z\geq0 z≥0时， F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P ( X 2 + Y 2 ≤ z ) = P ( X 2 + Y 2 ≤ z 2 ) = ∬ G 1 2 π e − x 2 + y 2 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 z 1 2 π e − x 2 + y 2 2 r d r = ∫ 0 2 π ∫ 0 z 1 2 π e − x 2 + y 2 2 1 2 d r 2 = 1 − e − z 2 F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(\sqrt{X^2+Y^2}\leq z)=P(X^2+Y^2\leq z^2)=\displaystyle\iint\limits_G\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^z\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}rdr=\int_0^{2\pi}\int_0^z\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\frac{1}{2}dr^2=1-e^{-z^2} FZ​(z)=P(Z≤z)=P(X2+Y2 ​≤z)=P(X2+Y2≤z2)=G∬​2π1​e−2x2+y2​dxdy=∫02π​∫0z​2π1​e−2x2+y2​rdr=∫02π​∫0z​2π1​e−2x2+y2​21​dr2=1−e−z2
  
  因此，
  F Z ( z ) = { 0 z < 0 1 − e − z 2 z ≥ 0 F_Z(z)=\begin{cases} 0 & z<0\\ 1-e^{-z^2} & z\geq0 \end{cases} FZ​(z)={01−e−z2​z<0z≥0​
  f Z ( z ) = { 0 z < 0 2 z e − z 2 z ≥ 0 f_Z(z)=\begin{cases} 0 & z<0\\ 2ze^{-z^2} & z\geq0 \end{cases} fZ​(z)={02ze−z2​z<0z≥0​

两种特殊情况

1. Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

则 F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P ( X + Y ≤ z ) = ∬ X + Y ≤ z f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z − x f ( x , y ) d y F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(X+Y\leq z)=\displaystyle\iint\limits_{X+Y\leq z}f(x,y)dxdy=\int_{-\infin}^{+\infin}dx\int_{-\infin}^{z-x}f(x,y)dy FZ​(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=X+Y≤z∬​f(x,y)dxdy=∫−∞+∞​dx∫−∞z−x​f(x,y)dy
令 t = x + y t=x+y t=x+y，有：
F Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z f ( x , t − x ) d t = ∫ − ∞ z [ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , t − x ) d x ] d t F_Z(z)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}dx\int_{-\infin}^zf(x,t-x)dt=\int_{-\infin}^z[\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,t-x)dx]dt FZ​(z)=∫−∞+∞​dx∫−∞z​f(x,t−x)dt=∫−∞z​[∫−∞+∞​f(x,t−x)dx]dt

两边求导：
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x f_Z(z)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,z-x)dx fZ​(z)=∫−∞+∞​f(x,z−x)dx
同理， f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y f_Z(z)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}f(z-y,y)dy fZ​(z)=∫−∞+∞​f(z−y,y)dy

特别地，当 X Y XY XY独立时，有：
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x f_Z(z)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}f_X(x)f_Y(z-x)dx fZ​(z)=∫−∞+∞​fX​(x)fY​(z−x)dx
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y f_Z(z)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}f_X(z-y)f_Y(y)dy fZ​(z)=∫−∞+∞​fX​(z−y)fY​(y)dy
（称“卷积公式”）

卷积公式使用条件：

1. Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y
2. X Y XY XY独立

例

【例2】
X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1),Y\sim N(0,1) X∼N(0,1),Y∼N(0,1)， X Y XY XY独立，求 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y

解：
ϕ Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ ϕ X ( x ) ϕ Y ( z − x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − x 2 2 1 2 π e − ( z − x ) 2 2 d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − z 2 4 e − ( x − z 2 ) 2 d x = 1 2 π e − z 2 4 ∫ − ∞ + ∞ e − ( x − z 2 ) 2 d ( x − z 2 ) = 1 2 π 2 e − z 2 2 ( 2 ) 2 \phi_Z(z)=\displaystyle\int_{-\infin}^{+\infin}\phi_X(x)\phi_Y(z-x)dx=\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(z-x)^2}{2}}dx=\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{z^2}{4}}e^{-(x-\frac{z}{2})^2}dx=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{z^2}{4}}\int_{-\infin}^{+\infin}e^{-(x-\frac{z}{2})^2}d(x-\frac{z}{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}e^{-\frac{z^2}{2(\sqrt{2})^2}} ϕZ​(z)=∫−∞+∞​ϕX​(x)ϕY​(z−x)dx=∫−∞+∞​2π ​1​e−2x2​2π ​1​e−2(z−x)2​dx=∫−∞+∞​2π1​e−4z2​e−(x−2z​)2dx=2π1​e−4z2​∫−∞+∞​e−(x−2z​)2d(x−2z​)=2π ​2 ​1​e−2(2 ​)2z2​

因此， Z ∼ N ( 0 , 2 ) Z\sim N(0,2) Z∼N(0,2)

推论： X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2) X∼N(μ1​,σ12​),Y∼N(μ2​,σ22​)，则 X + Y ∼ N ( μ 1 + μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) X+Y∼N(μ1​+μ2​,σ12​+σ22​)

2. M = m a x ( X , Y ) , N = m i n ( X , Y ) M=max(X,Y),N=min(X,Y) M=max(X,Y),N=min(X,Y)

F M ( z ) = P ( M ≤ z ) = P ( X ≤ z , Y ≤ z ) = P ( X ≤ z ) P ( Y ≤ z ) = F X ( z ) F Y ( z ) F_M(z)=P(M\leq z)=P(X\leq z,Y\leq z)=P(X\leq z)P(Y\leq z)=F_X(z)F_Y(z) FM​(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=FX​(z)FY​(z)
F N ( z ) = P ( N ≤ z ) = 1 − P ( N > z ) = 1 − P ( X > z , Y > z ) = 1 − P ( X > z ) P ( Y > z ) = 1 − ( 1 − P ( X ≤ z ) ) ( 1 − P ( Y ≤ z ) ) = 1 − ( 1 − F X ( z ) ) ( 1 − F Y ( z ) ) F_N(z)=P(N\leq z)=1-P(N>z)=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)=1-(1-P(X\leq z))(1-P(Y\leq z))=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z)) FN​(z)=P(N≤z)=1−P(N>z)=1−P(X>z,Y>z)=1−P(X>z)P(Y>z)=1−(1−P(X≤z))(1−P(Y≤z))=1−(1−FX​(z))(1−FY​(z))

例

【例3】
X Y XY XY独立， X : [ 0 , 1 ] X:[0,1] X:[0,1]上的均匀分布， Y : λ = 3 Y:\lambda=3 Y:λ=3的指数分布，求 M = m a x ( X , Y ) , N = m i n ( X , Y ) M=max(X,Y),N=min(X,Y) M=max(X,Y),N=min(X,Y)

解：
f X ( x ) = { 1 0 ≤ x ≤ 1 0 e l s e f_X(x)=\begin{cases} 1 & 0\leq x\leq 1\\ 0 & else \end{cases} fX​(x)={10​0≤x≤1else​
f Y ( y ) = { 3 e − 3 y y > 0 0 y ≤ 0 f_Y(y)=\begin{cases} 3e^{-3y} & y>0\\ 0 & y\leq0 \end{cases} fY​(y)={3e−3y0​y>0y≤0​

F X ( x ) = { 0 x < 0 x 0 ≤ x < 1 1 x ≥ 1 F_X(x)=\begin{cases} 0 & x<0\\ x & 0\leq x<1\\ 1 & x\geq1 \end{cases} FX​(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​0x1​x<00≤x<1x≥1​
F Y ( y ) = { 1 − e − 3 y y > 0 0 y ≤ 0 F_Y(y)=\begin{cases} 1-e^{-3y} & y>0\\ 0 & y\leq0 \end{cases} FY​(y)={1−e−3y0​y>0y≤0​

因此，有：
M = m a x ( X , Y ) M=max(X,Y) M=max(X,Y)
F M ( z ) = { 0 z < 0 z ( 1 − e − 3 z ) 0 ≤ z < 1 1 − e − 3 z z ≥ 1 F_M(z)=\begin{cases} 0 & z<0\\ z(1-e^{-3z}) & 0\leq z<1\\ 1-e^{-3z} & z\geq 1 \end{cases} FM​(z)=⎩⎪⎨⎪⎧​0z(1−e−3z)1−e−3z​z<00≤z<1z≥1​
F M ( z ) = { 0 z < 0 1 − e − 3 z + 3 z e − 3 z 0 ≤ z < 1 3 e − 3 z z ≥ 1 F_M(z)=\begin{cases} 0 & z<0\\ 1-e^{-3z}+3ze^{-3z} & 0\leq z<1\\ 3e^{-3z} & z\geq 1 \end{cases} FM​(z)=⎩⎪⎨⎪⎧​01−e−3z+3ze−3z3e−3z​z<00≤z<1z≥1​

N = m i n ( X , Y ) N=min(X,Y) N=min(X,Y)
F N ( z ) = { 0 z < 0 1 − ( 1 − z ) e − 3 z 0 ≤ z < 1 1 z ≥ 1 F_N(z)=\begin{cases} 0 & z<0\\ 1-(1-z)e^{-3z} & 0\leq z<1\\ 1 & z\geq 1 \end{cases} FN​(z)=⎩⎪⎨⎪⎧​01−(1−z)e−3z1​z<00≤z<1z≥1​
F N ( z ) = { 4 e − 3 z − 3 z e − 3 z 0 ≤ z < 1 0 e l s e F_N(z)=\begin{cases} 4e^{-3z}-3ze^{-3z} & 0\leq z<1\\ 0 & else \end{cases} FN​(z)={4e−3z−3ze−3z0​0≤z<1else​